Непрерывное начисление процентов
Основные понятия и обозначения
Стоимостные:
present value (PV) - стоимость (капитал, денежная сумма) на начало операции, современная, настоящая стоимость ;
future value – (FV)- стоимость (капитал, денежная сумма) на конец операции будущая, наращенная стоимость;
Доход - изменение капитала за время финансовой операции,
(FV - PV);
Показатели времени операции
Время финансовой операции (период сделки) - время от начала до окончания сделки
n - если срок финансовой операции больше года (измеряется в годах);
t – если срок финансовой операции меньше года (измеряется в днях);
Y– продолжительность года в днях (месяцах, кварталах).
Показатели эффективности
Процентная ставка (декурсивная, обычная)
(FV – PV) = I – процент
Учетная ставка (антисипативная, дисконтная)
(FV – PV) = D – дисконт
Задачи финансовой математики
.Задача наращения (определения будущей стоимости – FV);
.Задача дисконтирования (определения современной стоимости – PV);
Задача определения ставки доходности;
Задача определения срока финансовой операции;
Задача наращения
· Дано: PV; i (d); n (t)
· Определить: FV = ?
Задача дисконтирования
· Известно: FV; i (d); n (t)
· Определить: PV = ?
Задача определения величины ставки
N Дано: PV; FV; n (t)
n Определить: i=?; (d=?)
Задача определения срока операции
N Дано: PV; FV; i (d)
n Определить: n (t) = ?
Задача наращения по простой процентной ставке (i)
N Дано: PV; i; n.
n Определить: FV = ?
PV×i = I – простые, декурсивные, обычные проценты (процентные деньги) за год
Срок 1 год: FV = PV+PV i= PV(1+i)
Срок 2 года: FV = PV+PV i +PV i= PV(1+2i)
Срок n - лет: FV = PV+PV i +¼+ PV i = PV(1 + n i)
Формула простых процентов
Срок больше года
FV = PV(1+n×i)
(1+n×i) – множитель наращения
Срок меньше года
(PVЧ i /Y)Ч t = I – проценты за время операции
Будущая стоимость:
Задача наращения по простой учетной ставке (d)
Дано: PV; d; n
Определить: FV = ?
FV = PV + FV d + ……. + FV d=
PV + FV n d
Cрок меньше года
Пример 1.
Дано: PV = 10млн. руб.;
n = 2 года;
а) i = 10% , б) d = 10%
Определить: FV= ?
Решение: а) FV= 10 (1 + 2 х 0,1) = 12млн.р.
б) FV = 10 / (1 – 2 х 0,1) = 12,5млн.р.
Пример 2.
Дано: PV = 10млн. руб.;
n = 10 лет;
а) i = 10% , б) d = 10%
Определить: FV= ?
Решение: а) FV= 10 (1 + 10 х 0,1) = 20млн.р
б) FV = 10/(1 – 10 х 0,1) =
Задача дисконтирования по простой процентной ставке (Математическое дисконтирование)
Дано: FV; i ; n (t)
Определить: PV = ?
Пример 3.
Дано: FV = 1,5млн. руб.;
t =1 месяц;
i = 12% ;
Определить: PV= ?
Решение: а) PV= 1,5: [1 +(1/12) х 0,12] = 1.485148млн.р.
Задача дисконтирования по простой учетной ставке (Банковский учет)
Известно: FV; d; n (t)
Определить: PV = ?
Срок больше года
PV = FV(1-nd)
(1-nd) – дисконтный множитель
Срок меньше года
PV = FV(1-t/Y d)
N Пример4
n Дано: FV = 5млн.р.; d = 18%; n = 0,5года
n Определить: PV = ? D = ?
n Решение:
n PV = 5(1 - 0,5 х 0,18) = 4,55млн.р.
n D = 5 – 4,55 = 0,45млн.р.
Задача определения ставки
Дано: PV; FV; n (t)Определить: i (d) = ?;
Процентная ставка
Учетная ставка
Пример 5
PV = 5млн.р.; FV = 7млн.р.; n=0,5 года;
Определить эффективность вложения, если iбанк = 70%
Определение срока операции
Дано: PV; FV; i (d)Определить: n (t) = ?
Срок больше года
Срок меньше года (t)
Пример 6.
PV = 10млн.р.; FV=15 млн.р.;
а)i = 20%; б)i = 200%;
Определить: n (t)= ?
Пример 6 (продолжение).
PV = 10млн.р.
а)i = 20%;
Определить: срок удвоения стоимости
Проблемы практики расчетов
n 1. Определение срока для операций меньше года (t/Y):
N Точные проценты – t и Y исчисляются точно по календарным дням
n Банковские проценты – t - точно по календарным дням; Y – условно (360 дней в году);
N Коммерческие проценты - t и Y принимаются условно – 30 дней в месяце и 360 дней в году.
Пример 7.
Дано: PV = 10т. руб.;
срок операции 1год. Год не високосный;
i = 10%
Определить: FV= ? (тремя способами)
Решение:
А) точные проценты
FV= 10 (1 + (365/365) х 0,1) = 11т.р.
б) банковские проценты
FV = 10(1+(365/360) х 0,1) = 11,0139т.р. в)коммерческие
FV= 10 (1 + (360/360) х 0,1) = 11т.р
Процентные начисления с использованием постоянного делителя (дивизора)
Пример 8
Постоянные суммы и сроки их хранения:
N 200т.р. – 25.05. – 07.07. (43 дня)
N 250т.р. – 07.07.-10.11.(126 дней)
N 170т.р. – 10.11. – 01.12. (21 день)
n Процентные числа: 200х43=8600
n 250х126=31500
n 170х21= 3570
n Дивизор:360/0,08=4500
n I = (840+31500+3570) / 4500 = 9,705т.р.
n FV = 170 + 9,705 = 179,705т.р.
Понятие эквивалентности
Эквивалентность простых процентных и учетных ставок
Простая процентная ставка эквивалентная простой учетной ставке
Простая учетная ставка эквивалентная простой процентной ставке
Пример 9.
Дано: t = 3 месяца; (коммерческие проценты)
а) d = 100%;
б) i = 120%
Сравнить эффективность операций.
Решение.
1,0
i = х 100 = 133,3%
1 – (3/12) х 1,0 =133,3% > 120%
Эквивалентность денежных сумм
Пример 10.
Дано: PV1=100т.р.; n1 = 0
FV2=200т.р.; n2 = 1
i = 10%
Что предпочтительнее ?
Сложные проценты
Задача наращения по сложной
Процентной ставке
Период начисления один год
Срок больше года
1 год - FV = PV+PV i = PV(1+i)
2 года - FV = PV(1+i)+PV (1+i)i = PV(1+i)(1+i) = РV(1+i)2
3 года - FV = PV(1+i) 2 +PV(1+i) 2 i = PV(1+i)(1+i)(1+i)=РV(1+i) і
n лет - FV = PV(1+i)(1+i)……….(1+i) =РV(1+i)n
Формула сложных процентов
N-целое число
FV = PV(1+i)n
(1+i)n -множитель наращения
Формула сложных процентов
1)n< 1FV = PV(1+i)n (1 +ni)>(1+i)n
2)n = а + в;
где а – целое число лет;
В – дробное число лет
FV = PV(1+i)а(1+вi)
Рост денежных средств при начислении простых и сложных процентов
Пример 1.
Дано: PV = 10т.р. i=10%
а) n = 2; n =1/2; n = 2,5;
Определить: FV = ?;
Решение.
а) FV = 10(1 + 0,1) 2 = 12,1т.р
б) FV = 10(1 + 0,1) 1/2 = 10,488т.р
FV = 10(1 + ½ 0,1) = 10,5т.р
в) FV = 10(1 + 0,1) 2 (1 + ½ 0,1) = 12,705т.р
FV = 10(1 + 0,1) 2,5 = 12,690т.р
Период начисления меньше года
(m-кратное начисление процентов)
Jm – номинальная ставка, начисляемая m-раз в год
Продолжительность операции один год:
на конец первого периода начисления –
FV = PV+PVj/m= PV(1+j/m)
Через m-периодов (конец года)
FV = PV(1+j/m)m
Продолжительность операции n - лет:
FV = PV(1+j/m) (m х n)
Эффективная процентная ставка
(эквивалентная)
(1 + iэ) n = (1+j/m)mn
(1 + iэ) = (1+j/m)m
iэ = (1+j/m)m –1
Вычисление номинальной ставки, начисляемой m-раз в год на основе эффективной ставки.
Пример 2.
Дано: PV = 10т.р.
а) i=10% б) J2 = 10%; в) J4 = 10%;
г) J12 = 10%;
Определить: FV = ?; iэ = ?
Решение.
а) FV = 10(1+0,1) = 11,0т.р
Пример 2. Продолжение
б) FV = 10(1+0,1/2) 2 = 11,025т.р.
iэ = (1+0,1/2) 2 –1 = 10,25%
в) FV = 10(1+0,1/4) 4 = 11,038т.р.
iэ = (1+0,1/4) 4 –1 = 10,38%
г) FV = 10(1+0,1/12) 12 = 11,047т.р.
iэ = (1+0,1/12) 12 –1 = 10,47%
Непрерывное начисление процентов
Множитель наращения:
Где: д-сила роста (номинальная ставка)
℮ - основание натуральных логарифмов (2,718…)
Будущая стоимость:
Пример 3.
Дано: PV = 10т.р. ; δ = 10%
Определить: FV = ?; iэ = ?
Решение.
FV = 10 ℮ 0,1 = 10 х (2, 718…)0,1 =11,052т.р.
iэ = 2, 718…0,1 –1 = 0,1052 (10,52%)