Начисление непрерывных процентов.

Пусть к началу года в нашем распоряжении имеется сумма Q0 рублей. Как добиться к концу года максимального роста этой суммы? Один из способов – воспользоваться услугами банка.

Предположим, что банк дает 100% годовых; это означает, что за год хранения вклад возрастет на 100%. За любой меньший срок вклад возрастает пропорционально этому сроку (например, за один месяц прирост составит 100/12 процентов).

Итак, после года хранения, вклад станет Начисление непрерывных процентов. - student2.ru , т.е. удвоится. Можно, однако, добиться большего эффекта, если по истечении полугода закрыть счет и тут же открыть его снова на очередные полгода. В этом случае к концу первого полугода вклад станет равным Начисление непрерывных процентов. - student2.ru , а к концу года будет равным Начисление непрерывных процентов. - student2.ru .

Если операцию по закрытию и открытию счета производить чаще, то получим еще больший эффект: например, если эту операцию проводить в конце каждого месяца, то к концу года будем иметь Начисление непрерывных процентов. - student2.ru , а если закрывать и открывать счет каждый день, то конечная сумма составит

Начисление непрерывных процентов. - student2.ru .

Если представить, что операция закрытия-открытия производится непрерывно, то в итоге к концу года вклад составит

Начисление непрерывных процентов. - student2.ru руб.

Таким образом, при номинальной ставке 100% простые проценты дают двукратное повышение суммы вклада, а непрерывные увеличивают его в 2,718 раза.

Аналогично рассуждения можно провести для случая, когда номинальная ставка будет p% ( р/100). Тогда конечная ставка вклада будет равна

Начисление непрерывных процентов. - student2.ru .

Если вклад хранится не один год, а любое количество t лет, то получим формулу

Начисление непрерывных процентов. - student2.ru ,

Она называется формулой непрерывных процентов.

Пример 1. Определите какую сумму может получить вкладчик 500 тыс руб. через три года , если процентная ставка составляет 10% годовых при простом и непрерывном начислении процентов.

Прежде чем перейти к дифференциальному исчислению функции одной переменной, рассмотрим еще одну её характеристику, являющейся фундаментальной для последующего изучения.

3.5.Непрерывность функции.

Всякий раз, оценивая неизбежные с течением времени изменения в окружающем нас мире, мы пытаемся проанализировать происходящие процессы, чтобы выделить их наиболее существенные черты. Один из первых на этом пути встает вопрос: как происходят характерные для этого явления изменения – непрерывно или дискретно, т.е. скачкообразно. Чтобы унифицировать качественные и количественные оценки происходящего, следует абстрагироваться от конкретного содержания и изучить проблему в терминах функциональной зависимости. Это позволяет сделать теория пределов, которую мы рассматривали на прошлой лекции.

Непрерывность функции интуитивно связано с тем, что ее графиком является сплошная, нигде не прерывающаяся кривая. Мы вычерчиваем график такой функции, не отрывая ручки от бумаги.

В реальности при непрерывности имеет место следующее обстоятельство: если параметры, характеризующие ситуацию, немного изменить, то не много изменится и ситуация. Здесь важно не то, что ситуация изменится, а то, что она изменится «немного».

Сформулируем понятие непрерывности на языке приращений.

Пусть некоторое явление описывается функцией Начисление непрерывных процентов. - student2.ru и точка a принадлежит области определения функции. Разность Начисление непрерывных процентов. - student2.ru называется приращением аргумента в точке a, разность Начисление непрерывных процентов. - student2.ru – приращением функции в точке a.

Определение 1Функция Начисление непрерывных процентов. - student2.ru непрерывна в точкеa, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента Начисление непрерывных процентов. - student2.ru соответствует бесконечно малое приращение функции Начисление непрерывных процентов. - student2.ru :

Начисление непрерывных процентов. - student2.ru .

Например, функция Начисление непрерывных процентов. - student2.ru непрерывна в точке Начисление непрерывных процентов. - student2.ru и во всех точках её существования. Её график представляет собой сплошную линию (рис.5)

рис. 5.

Очевидно, что чем меньше приращение аргумента Начисление непрерывных процентов. - student2.ru x, тем меньше приращение функции Начисление непрерывных процентов. - student2.ru y.

Поскольку непрерывность функции играет важную роль, дадим более полное её определение на языке пределов.

Определение 2.Функция Начисление непрерывных процентов. - student2.ru называется непрерывной в точке а, если:

1) она определена в точке а, и некоторой ее окрестности;

2) односторонние пределы существуют и равны между собой:

Начисление непрерывных процентов. - student2.ru ;

3) предел функции при х®а равен значению функции в этой точке, т.е :

Начисление непрерывных процентов. - student2.ru .

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то говорят, что функция претерпевает разрыв. На рис. 6 – 8 показаны функции, имеющие разрыв.

Начисление непрерывных процентов. - student2.ru Начисление непрерывных процентов. - student2.ru

рис.6 рис.7

Начисление непрерывных процентов. - student2.ru

рис.8

В первом случае непрерывность нарушена в т. с координатами (0,1) – пустая или «выколотая» точка, что говорит о том, что функция в ней не определена. Доопределив эту функцию, т.е. положив дополнительно Начисление непрерывных процентов. - student2.ru , мы устраним этот разрыв. Поэтому такие точки называются точками устранимого разрыва.

Во втором случае (рис.7.) в т. х = 2 – функция претерпевает так называемый скачкообразный разрыв». Нарушено второе требование непрерывности: односторонние пределы существуют, но не равны между собой.

В третьем случае (рис.8.) в т. х = 2 функция претерпевает бесконечный разрыв. Оба односторонних предела не существуют. Точки ветвей их графиков уходят в Начисление непрерывных процентов. - student2.ru .

Пример 1. Построить график и определить характер

точек разрыва:

Начисление непрерывных процентов. - student2.ru

Решение. Построим график f(x) , предварительно протабулировав каждую функцию на ее интервале задания (рис 9).

Начисление непрерывных процентов. - student2.ru

рис.9

Из рисунка видно, что исходная функция имеет три точки разрыва: Начисление непрерывных процентов. - student2.ru , x2 = 1, x3 = 3. Рассмотрим их по порядку.

1. Пусть Начисление непрерывных процентов. - student2.ru .

а) Функция определена в этой точке: Начисление непрерывных процентов. - student2.ru .

б) Найдем односторонние пределы, учитывая соответствующий вид функции: Начисление непрерывных процентов. - student2.ru , Начисление непрерывных процентов. - student2.ru .

Поэтому в точке Начисление непрерывных процентов. - student2.ru разрыв 2-го рода.

2. Пусть Начисление непрерывных процентов. - student2.ru .

а) Функция определена в этой точке: f(1)=–1.

б) Начисление непрерывных процентов. - student2.ru , Начисление непрерывных процентов. - student2.ru ,

т.е. в точке x2 = 1 имеется устранимый разрыв. Переопределив значение функции в этой точке: f(1) = 5, разрыв устраняется и функция в этой точке становится непрерывной.

3. Пусть Начисление непрерывных процентов. - student2.ru .

а) Функция определена в этой точке: f(3) = 1.

б) Начисление непрерывных процентов. - student2.ru , Начисление непрерывных процентов. - student2.ru Следовательно, в точке x1 = 3 имеется разрыв 1-го рода. Функция в этой точке испытывает скачок, равный Начисление непрерывных процентов. - student2.ru y = –2–1 = –3.


Наши рекомендации