Соотношения между сторонами

Точки, прямые, отрезки.

Соотношения между сторонами - student2.ru Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.     Прямая а и точки А и В. Если две прямые имеют общую точку, то они пересекаются. Соотношения между сторонами - student2.ru Прямая а и b пересекаются в точке О.
Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Угол.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Соотношения между сторонами - student2.ru Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. Развёрнутый угол = 180º; Соотношения между сторонами - student2.ru Неразвёрнутый угол < 180º .
Соотношения между сторонами - student2.ru Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектриса угла.
Смежные и вертикальные углы
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Соотношения между сторонами - student2.ru ‹АОВ + ‹ВОС = ‹АОС = 1800 Два угла ,называются вертикальными , если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Соотношения между сторонами - student2.ru 1 и 3, 2 и 4 – вертикальные углы.

Треугольники.

Треугольник – геометрическая фигура, которая состоит из 3 точек, не лежащих на одной прямой, соединённых отрезками. Соотношения между сторонами - student2.ru РАВС = АВ+ВС+СА.
Теорема:Если 2 стороны и угол между ними 1-го треугольника соответственно равны 2 сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны. Соотношения между сторонами - student2.ru Теорема: Из точки, не лежа- щей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой, и притом только один. Соотношения между сторонами - student2.ru   АН ┴ а
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Соотношения между сторонами - student2.ru АМ - медиана Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Соотношения между сторонами - student2.ru
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. Соотношения между сторонами - student2.ru ВН - высота ∆АВС.
Треугольник, у которого 2 стороны равны, называется равнобедренным. Соотношения между сторонами - student2.ru Теорема:В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Соотношения между сторонами - student2.ru ‹В = ‹С
Теорема:В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Соотношения между сторонами - student2.ru 1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. 2. Медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны. Соотношения между сторонами - student2.ru Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Соотношения между сторонами - student2.ru
Определение: Окружность называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Параллельные прямые

Определение: Две прямые на плоскости параллельны, если они не пересекаются. Соотношения между сторонами - student2.ru Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках. Соотношения между сторонами - student2.ru Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6. Односторонние – 4 и 5, 3 и 6. Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.
Теорема: Если при пересечении 2 прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны. Теорема:Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Теорема:Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Теорема: Если две прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180º.

Соотношения между сторонами

и углами треугольника.

Теорема:Сумма углов треугольника = 180º. Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против большего угла лежит большая сторона.
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами. Соотношения между сторонами - student2.ru
1.В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. 2.Если два угла треугольника равны, то треугольник – равнобедренный. Теорема: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Некоторые свойства прямоугольных треугольников
1.Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника = 90º. Соотношения между сторонами - student2.ru 2. Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º.
Теорема: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны Теорема: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Многоугольники.

Сумма углов выпуклого n-угольника = (n-2)180º.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Соотношения между сторонами - student2.ru
Свойства: 10. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Соотношения между сторонами - student2.ru Соотношения между сторонами - student2.ru 20. Диагонали параллелограмма точ- кой пересечения делятся пополам. Соотношения между сторонами - student2.ru Признаки: 10. . Если в 4-угольнике 2 стороны равны и параллельны, то этот 4-угольник – параллелограмм. 20. Если в 4-угольнике противопо- ложные стороны попарно равны, то этот 4-угольник – параллелограмм. 30. Если в 4-угольнике диагональю пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот 4-угольник – параллелограмм.
Трапецией называется 4-угольник, у которого 2 стороны параллельны, а 2 другие стороны не параллельны. Соотношения между сторонами - student2.ru
Трапецией называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. Соотношения между сторонами - student2.ru Свойства равнобедренной трапеции: 1. ‹А = ‹Д, ‹В = ‹С 2. АС = ВД 3. ∆АВМ = ∆ДСМ Ромбом называется параллело-грамм, у которого все стороны равны. Соотношения между сторонами - student2.ru Свойство: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Соотношения между сторонами - student2.ru Свойства: 1. Диагонали прямоугольника равны. 2.Если в параллелограмме диагонали равны,то этот пареллелограмм- прямоугольник. Квадратом называется прямо- угольник, у которого все стороны равны. Соотношения между сторонами - student2.ru Свойства: 1.Все углы квадрата прямые. 2.Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Площадь.

1.Равные многоугольники имеют равные S. 2.S квадрата равна квадрату его стороны. 3. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его S = сумме площадей этих многоугольников. Теорема: S прямоугольника равен произведению его смежных сторон. Соотношения между сторонами - student2.ru S = a * b
Теорема: S параллелограмма равен произведению его основания на высоту. Соотношения между сторонами - student2.ru S = AD *BH Теорема: S треугольника равен произведению его основание навысоту. Соотношения между сторонами - student2.ru S = ½ АВ*СН
S прямоугольного треугольника = 1/2 произведения его катетов. Формула Герона: Соотношения между сторонами - student2.ru , где р =1/2 (а + b + c)- полупериметр треугольника. Теорема: S трапеции = про- изведению полу суммы её оснований на высоту. Соотношения между сторонами - student2.ru
Теорема: (Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Соотношения между сторонами - student2.ru c2=a2 + b2 Теорема: Если квадрат 1ой стороны треугольника = сумме квадратов 2 других сторон, то треугольник прямоугольный.

Подобные треугольники.

Определение: два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорционально сходственны сторонам другого. Соотношения между сторонами - student2.ru Соотношения между сторонами - student2.ru АВ и А1В1, ВС и В1С1 , СА и С1А1 –сходственные стороны
Теорема: Отношение S 2ух подобных треугольников равен квадрату коэффициента подобия.  
Признаки подобия треугольников
Первый признак Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие 3-угольники подобны. Соотношения между сторонами - student2.ru Соотношения между сторонами - student2.ru Второй признак Теорема: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Третий признак Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональ-ны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны. Соотношения между сторонами - student2.ru Соотношения между сторонами - student2.ru Теорема: Средняя линия параллельна одной из его сторон и равна ½ этой стороны. Соотношения между сторонами - student2.ru MN = ½ AC
Утверждение: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которое делится гипотенуза этой высотой. Соотношения между сторонами - student2.ru CD = Соотношения между сторонами - student2.ru Утверждение: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. Соотношения между сторонами - student2.ru AC = Соотношения между сторонами - student2.ru    
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
sin острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Соотношения между сторонами - student2.ru sin A = Соотношения между сторонами - student2.ru cos острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Соотношения между сторонами - student2.ru   cos A = Соотношения между сторонами - student2.ru
tg острого угла прямоугольного треугольника называетсяотношение противолежащего катета к прилежащему. Соотношения между сторонами - student2.ru tg A = Соотношения между сторонами - student2.ru tg угла = отношению sin к cos этого угла: tg = sin/ cos. Основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α=1.

Соотношения между сторонами - student2.ru

Окружность.

Если расстояние от центра окруж ности до прямой < радиуса, то пря мая и окружность имеют 2 общие точки. Прямая является секущей. Соотношения между сторонами - student2.ru Если расстояние от центра окруж- ности до прямой = радиуса, то пря- мая и окружность имеют 2 общие точки. Прямая является касательной Соотношения между сторонами - student2.ru
Если расстояние от центра окруж- ности до прямой > радиуса, то пря мая и окружность не имеют общих точек. Соотношения между сторонами - student2.ru Теорема: Касательная к окруж- ности перпендикулярна к r, прове- дённому в точку касания. Соотношения между сторонами - student2.ru
Свойство: Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Соотношения между сторонами - student2.ru АВ = АС, ‹3 = ‹4 Теорема: Если прямая проходит через конец r, лежащий на окруж- ности, и перпендикулярна к этому r, то она является касательной.
Градусная мера дуги окружности
Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Соотношения между сторонами - student2.ru Соотношения между сторонами - student2.ru Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается = 360°–<АОВ. Соотношения между сторонами - student2.ru
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Соотношения между сторонами - student2.ru
Теорема: Вписанный угол измеряя- ется ½ дуги, на которую он опирается. Соотношения между сторонами - student2.ru Соотношения между сторонами - student2.ru Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту же дугу, равны. Соотношения между сторонами - student2.ru Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность- прямой. Соотношения между сторонами - student2.ru
Теорема: Если 2 хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Соотношения между сторонами - student2.ru АЕ* ВЕ = СЕ* DE Теорема: Каждая точка бисс-ектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Соотношения между сторонами - student2.ru MK = ML
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Соотношения между сторонами - student2.ru Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему. Соотношения между сторонами - student2.ru
Теорема: Каждая точка се- рединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: Каждая точка, равноудалённая от концов отрез- ка, лежит на серединном перпен- дикуляре к нему. Серединные перпендикуляры к сторо- нам треугольника пересекаются в одной точке. Теорема: Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Соотношения между сторонами - student2.ru
Вписанная и описанная окружности
Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности. Соотношения между сторонами - student2.ru
Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность. Соотношения между сторонами - student2.ru Замечания: 1. В 3-угольник можно вписать только одну окружность. 2. В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Соотношения между сторонами - student2.ru
Свойства: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Соотношения между сторонами - student2.ru АВ + CD=a + b +c + d, DC +AD=a + b +c + d, AB + CD = BC + AD Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность. Соотношения между сторонами - student2.ru
Свойства: В любом вписанном 4-угольнике сумма противоположных углов равна 180°. Соотношения между сторонами - student2.ru Соотношения между сторонами - student2.ru Обратное: Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.

Векторы.

Определение: Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезкомиливектором. Соотношения между сторонами - student2.ru Нулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Соотношения между сторонами - student2.ru На рисунке векторы Соотношения между сторонами - student2.ru , Соотношения между сторонами - student2.ru , Соотношения между сторонами - student2.ru , Соотношения между сторонами - student2.ru , Соотношения между сторонами - student2.ru (вектор Соотношения между сторонами - student2.ru нулевой) колли- неарны, а векторы Соотношения между сторонами - student2.ru и Соотношения между сторонами - student2.ru , a также Соотношения между сторонами - student2.ru и Соотношения между сторонами - student2.ru не коллинеарны.
Если 2 вектора направлены одинаково, то эти векторы – сонаправлены. Обозначается : : Соотношения между сторонами - student2.ru ↑↑ Соотношения между сторонами - student2.ru Если 2 вектора направлены противоположно, то они противоположно направлены. Обозначается: : Соотношения между сторонами - student2.ru ↑↓ Соотношения между сторонами - student2.ru Определение: Векторы, называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.   Обозначается: Соотношения между сторонами - student2.ru = Соотношения между сторонами - student2.ru От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору Соотношения между сторонами - student2.ru , и притом только один.
Теорема: для любых векторов: Соотношения между сторонами - student2.ru , Соотношения между сторонами - student2.ru , Соотношения между сторонами - student2.ru справедливы равенства: 1. Соотношения между сторонами - student2.ru + Соотношения между сторонами - student2.ru = Соотношения между сторонами - student2.ru + Соотношения между сторонами - student2.ru (переместительный закон); 2. ( Соотношения между сторонами - student2.ru + Соотношения между сторонами - student2.ru ) + Соотношения между сторонами - student2.ru = Соотношения между сторонами - student2.ru + ( Соотношения между сторонами - student2.ru + Соотношения между сторонами - student2.ru ) (сочетательный закон). Теорема: Для любых векторов Соотношения между сторонами - student2.ru и Соотношения между сторонами - student2.ru справедливо равенство Соотношения между сторонами - student2.ruСоотношения между сторонами - student2.ru = Соотношения между сторонами - student2.ru + (- Соотношения между сторонами - student2.ru ). Соотношения между сторонами - student2.ru
· Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. · Для любого числа k и любого вектора Соотношения между сторонами - student2.ru векторы Соотношения между сторонами - student2.ru и k Соотношения между сторонами - student2.ru коллинеарны. Для любых чисел k, l и любых векторов Соотношения между сторонами - student2.ru , Соотношения между сторонами - student2.ru справедливы равенства: 10.(k*l) Соотношения между сторонами - student2.ru =k(l* Соотношения между сторонами - student2.ru ) (сочетательный закон) 20.(k + l) Соотношения между сторонами - student2.ru =k Соотношения между сторонами - student2.ru + l Соотношения между сторонами - student2.ru (первый распределительный закон) 30 k( Соотношения между сторонами - student2.ru + Соотношения между сторонами - student2.ru ) = k Соотношения между сторонами - student2.ru + k Соотношения между сторонами - student2.ru ) (второй распределительный закон)
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Соотношения между сторонами - student2.ru MN = Соотношения между сторонами - student2.ru

Метод координат.

Наши рекомендации