Расчет электрической цепи синусоидального тока
1.1. Задание. Для электрической цепи, соответствующей варианту ( табл. 1.,
схемы 1.1.--1.50.) , выполнить следующее:
1.1.1. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа в интегродифферен- циальной и комплексной формах.
1.1.2. Определить токи во всех ветвях схемы.
1.1.3. Составить баланс активных и реактивных мощностей.
1.1.4. Построить векторную диаграмму токов цепи и топографическую диаграмму
напряжений по внешнему контуру.
1.1.5. Построить на одном графике кривые мгновенных значений напряжения u АВ
и тока i 2 .
1.1.6. Определить показания ваттметра.
1.2. Методические указания к выполнению задания.
1.2.1.Особенности записии решений уравнений по законам Кирхгофа при синусоидальном токе.
При составлении уравнений по законам Кирхгофа в интегродифферен-циальной форме следует учесть , что уравнения составляются для мгновенных значений напряжений и токов и что падение напряжения на активном сопротивле- нии u R= i· R, на индуктивной катушке u L= L di / dt , на конденсаторе u C=1 / С 
При анализе гармонических процессов в цепях составляются уравнения в комплексной форме. При этом необходимо учесть, что падение напряжения на резисторе Ú R=Í∙R, на индуктивности Ú L = j x L ∙Í , на конденсаторе Ú С= - j x C ∙ Í .
Для получения численного результата необходимо проводить расчеты с комплекс- ными числами.
1.2.2. Определение токов в ветвях. Для цепи, содержащей три ветви, целесообразно определить полное комплексное сопротивление. Отношение эдс
источника к этому сопротивлению позволяет определить ток в ветви, в которой расположен источник эдс. Далее, находят напряже- ние на параллельном участке и затем, разделив это напряжение на сопротивления двух других ветвей, находят соответствующие токи. Правильность решения проверяют по первому закону Кирхгофа.
1.2.3.Баланс мощностей.
При составлении баланса мощностей следует рассчитать мощность,
развиваемую источником эдс, и приравнять ее сумме мощностей всех потребителей.
Ś ИСТ = Σ Ś ПОТР.
Полная мощность в комплексной форме определяется как
Ś=Σ Ú·Î = P + (-) j Q = Σ Z·Í∙Î , где
P- активная мощность,
Q- реактивная мощность,
Î - комплексное сопряженное значение к –того тока,
Z – полное комплексное сопротивление к-той ветви.
1.2.4.Построение векторной диаграммы токов и топографической диаграммы
напряжений.
Следует помнить, что вектор падения напряжения на резисторе Ú R совпадает по фазе с током, на индуктивной катушке Ú L опережает вектор тока на 90 градусов,
а на конденсаторе Ú С отстает от тока на угол 90 градусов.
1.2.5. Построение кривых мгновенных значений.
В результате расчетов значения тока и напряжения получены в комплексной форме, необходимо записать эти величины в функции времени.
u АВ= U АВ m sin ( ω t + ψ UАВ ) , для чего находится амплитудное
значение напряжения и начальная фаза
U АВ m = U АВ · 1,41
U АВ =√ Re 2 + Im2 ψ UАВ= arctq Im / Re
1.2.6. Определение показаний ваттметра.
Ваттметр измеряет активную мощность, поэтому при определении показаний ваттметра необходимо взять действительную часть от произведения комплекса соот- ветствующего напряжения на величину сопряженного комплекса тока.
P= Re ( Ú AB ∙ Î ) , где
Ú AB – комплекс напряжения между точками A и B , к которым подключена
обмотка напряжения ваттметра,
Î- сопряженный комплекс тока, протекающего по токовой обмотке ваттметра.
1.3.Пример выполнения задания
Исходные данные для расчета:
Схема электрической цепи представлена на рис. 1.
Параметры элементов схемы: Е= 220 В , f= 50 Гц, С 1 = 825 мкФ, С2 = 250 мкФ,
L 1= 25 мГн , L 2 =30 мГн , L3 = 20 мГн , r 1= 8,18 Ом , r 2= 10 Ом , r 3= 20 Ом .
1.3.1. Составление уравнений по законам Кирхгофа.
Количество уравнений по 1-му закону равно числу узлов, уменьшенному на единицу ( 2-1=1).
Количество уравнений по 2-му закону равно числу ветвей, уменьшенному на
количество уравнений, составленных по 1-му закону ( 3-1=2).
Система уравнений в интегро-дифференциальной форме:
i 1 = i 2 + i 3
e = r 1 i 1 + 1/C1 
1 dt + u C1 ( 0) + L 1 di 1/dt + L 3 di 3/dt + r3 i 3
0= r 2 i 2 + L 2 di 2/dt + 1/C2 2 dt+ u C2 ( 0) - L 3 di3 /dt - r3 i 3
Система уравнений в комплексной форме:
Í1 =Í2 + Í3
É = ( r1 + j x L1 – j x C1 ) Í 1 + ( r3 + j x L3 ) Í 3
0 = ( r2 + j x L2 – j x C2 ) Í 2 - ( r3 + j x L3 ) Í 3
1.3.2. Расчет токов в цепи в комплексной форме.
Сопротивления ветвей:
Z 1 = ( r1 + j x L1 – j x C1 ) = 8,18 – j 3,86 + j 7,85= 8,18 + j 3,99 ( Ом)
j x L1 = j 2 п f L 1 = j 2 ∙3,14·50·25∙10 -3 =j 7, 85 ( Ом)
– j x C1 = -j 1 / 2п f C 1 = - j 1/ 2· 3,14· 50 · 825· 10 – 6 = - j 3,86 ( Ом )
Z 2 = r2 + j x L2 – j x C2 = 10+ j 2 п f L 2 - j 1 / 2п f C 2 =
= 10 + j 2 ∙3,14· 30· 50∙10 -3 - j 1/ 2· 3,14· 50 · 250· 10 – 6 = 10 – j 3,32 ( Ом )
Z 3 = r3 + j x L3 = 20 + j 2 п f L 3= 20 + j 2 ∙3,14· 50· 20∙10 -3 = 20 + j 6, 28 ( Ом)
Нахождение полного комплексного сопротивления:
(10 – j 3,32) (20 + j 6, 28)
Z = Z 1 + Z 2 Z 3 / Z 2 +Z 3 = 8,18 + j 3,99 + ------------------------------------ =
(10 – j 3,32) + (20 + j 6, 28)
= 15,45 + j 3,17 ( Ом)
Ток в неразветвленной части цепи:
Í 1 = É / Z 1 = 220 / 15,45 + j 3,17 = 13,66 - j 2,78 ( А )
Напряжение разветвленной части цепи:
Ú АВ = É - Z 1 Í 1 = 220 – ( 8,18 + j 3,99 ) ( 13,66 - j 2,78 ) = 97,08- j 31,76 ( В )
Токи в ветвях:
Í 2 = Ú АВ / Z 2 =( 97,08-j 31,76) / (10 – j 3,32) = ( 9,69 + j 0,05 ) ( А)
Í 3 = Ú АВ / Z 3 =( 97,08-j 31,76) / ( 20 + j 6, 28 ) = ( 3,97 – j 2,83) ( А)
Проверка по первому закону Кирхгофа:
Í 1 = Í 2 + Í 3 = ( 9,69 + j 0,05 ) + (3,97 – 2,83) = 13,66 – j 2,78 ( А)
1.3.3.Баланс активных и реактивных мощностей.
Комплексная мощность источника:
Ś = Éi ∙ Îi = 220 ∙ (13,66 + j 2,78) = 3005,2+j 616,6 ( ВА)
Активная мощность источника Р i = 3005, 2 Вт
Реактивная мощность источника Q i = 611, 6 Вар
Комплексные мощности приемников:
Ś 1 ПР = Z1 ∙ Í 1 Î1 = ( 8,18 + j 3,99 ) ( 13,66 - j 2,78 ) ( 13,66 + j 2,78 ) =
= 1590,8 + j 775,56 ( ВА)
Ś 2 ПР = Z2 ∙ Í 2 Î2 = (10 – j 3,32) ( 9,69 + j 0,05 ) ( 9,69 - j 0,05 ) =
= 939,01 - j 312,6 ( ВА)
Ś 3 ПР = Z3 ∙ Í 3 Î3 = ( 20 + j 6, 28 ) (3,97 – j 2,83) (3,97 +j 2,83) =
= 475,28 + j 148,65 ( ВА)
Комплексная мощность всех приемников:
Ś ПР = Ś 1 ПР + Ś 2 ПР + Ś 3 ПР =1590,8 + j 775,56 + 939,01 - j 312,6 +
+ 475,28 + j 148,65 = 3005,09 + j 611, 61 ( ВА)
Активная мощность потребителей Р = 3005, 09 Вт
Реактивная мощность потребителей Q = 611, 61 Вар
1.3.4.Построение векторной диаграммы токов и топографической диаграммы.
На комплексной плоскости наносят вектора токов в ветвях ( комплексные
значения), причем вектор тока Í 1 должен быть равен сумме векторов Í 2 и Í 3
( рис. 1.1.1 ).
Для построения топографической диаграммы потенциал одного узла прини мают за нуль
φ В =0
Потенциал следующей точки φ К возрастает на величину падения напряжения
– j x C2·Í2
φ К = φ В + ( – j x C2·Í2 )= 0 + ( - j 12,7) ( 9,69 +j 0,05) = 0,64 – j 123,1 B
φ M = φ K + ( r2·Í2 ) = 0,64 – j 123,1+ ( 9,69+j 0,05) 10 = 97,5- j 122,6 B
φ A = φ M + ( j x L2·Í2 ) = 97,5- j 122,6 + ( 9,69+j 0,05) ( j9,42) = 97,0 – j 31,3 B
φ Q = φ A + ( j x L1·Í1 ) = = 97,0 – j 31,3 + ( j 7,85)( 13,66-j 2,78) = 118,8+j 75,9
φ N = φ Q + ( – j x C1·Í1 ) = 118,8+j 75,9 + (- j 3,86) ( 13,66-j 2,78) = 108,1+j 23 B
φ D = φ N + ( r1 ·Í1 ) =108,1+j 23 + 8,18 ( 13,66-j 2,78) = 220- j 0,1 B
φ В = φ D - É = 220 - j 0,1 - 220 =0
( рис. 1.1.2.)
1.3.5.Построение кривых мгновенных значений.
В результате расчетов значения тока и напряжения получены в комплексной
форме
Í 2 = ( 9,69 + j 0,05 ) ( А)
Модуль тока I2 = 
9,692 + 0,052 = 9,7 (А)
Амплитудное значение I m = 1,41∙I2 = 13, 68 ( А)
Начальная фаза тока ψ i= arc tq 0,05 / 9,69 = 0,3 град.
Мгновенное значение тока
i2 = I m sin ( ω t + ψ i2 ) = 13, 68 sin (ω t + 0,3°) (A)
Ú АВ = 97,08 - j 31,76 ( В )
Модуль напряжения U AB = 97,082 + 31,762 = 102, 1 (В)
Амплитудное значение U АВ m = 1,41∙ U AB=1,41· 102,1= 144 ( В)
Начальная фаза напряжения ψ U = arc tq (- 31,76) / 97,08= - 18,1 град.
Мгновенное значение напряжения u АВ= U АВ m sin ( ω t + ψ UАВ ) =
= 144 sin ( ω t - 18 °) (В)
( рис.1.1.3.)
1.3.6. Определение показаний ваттметра.
Pw = Re (Íw·Úw )=Re ( - j X C2 ∙Í2∙Î2) = Re { (- j 1/ 2· 3,14· 50 · 250· 10 – 6) ·
·( 9,69 + j 0,05 ) ( 9,69 - j 0,05 ) } = Re ( 6,17- 6,17+ j 1196,2 + j 0,03) = 0
Úw =( - j X C2 ∙Í2 ) Íw = Î2
 | Векторная диаграмма токов |
 | |
| Рис. 1. | Рис.1.1.1. |
| Топографическая диаграмма | Кривые мгновенных значений |
 |  |
| Рис.1.1.2. | Рис.1.1.3. |