Расчетно-графическая работа

по дисциплине «Методы оптимальных решений»

Вариант 6

Исполнитель: 2 ОЗО СП гр. 151 з ___________ Хисматуллина О.А.

Проверил: ст. преподаватель _______________ Аглямова З.Ш.

Набережные Челны

Содержание

Задание 1. Задача планирования производства. 3

Задание 2. Транспортная задача. 13

Задание 3. Задача распределения средств между инвестиционными проектами 32

Задание 4. Задача замены оборудования. 36

Список использованной литературы.. 42

Задание 1. Задача планирования производства

Предприятию ООО «ТИТАН», одним из видов деятельности которого является выполнение токарных, фрезерных и сверлильных работ, поступил заказ на производство гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня в количестве соответственно шт. Производство заказанной токарной продукции в полном объеме ограничено запасами имеющихся ресурсов (трудозатратами – чел.-час., запасом стали – кг, а также выделенными денежными средствами на оплату труда рабочих и последующую обработку токарной продукции – руб.). Кроме того, известно, что для производства единицы продукции каждого вида требуется соответственно кг стали, трудозатраты при этом составляют соответственно чел.-час. За каждую изготовленную деталь рабочий предприятия получает руб., последующая обработка единицы изделия каждого вида требует затрат денежных средств в размере руб. соответственно.

Задача оптимизации производства для ООО «ТИТАН» ставится в форме максимизации дополнительной прибыли предприятия при заданных ассортименте выпускаемой продукции и ограничениях на имеющиеся запасы ресурсов, при условии, что прибыль от реализации единицы продукции каждого вида составляет соответственно руб.

Исходные данные задачи представлены в таблице

Показатель	Ассортимент выпускаемой продукции
Гайка стремянки	Гайка штанги	Гайка МОД	Кольцо шкворня
	0,195	0,17	0,425	1,335
	0,105	0,13	0,39	0,23
		6,5	13,5
	6,5

Необходимо:

1. Построить экономико-математическую модель представленной задачи линейного программирования (с учетом условия целочисленности).

2. Определить с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальный план производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня).

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулировать оптимальное управленческое решение в описанных условиях.

Решение:

1. Построим экономико-математическую модель представленной задачи линейного программирования (с учетом условия целочисленности).

Обозначим через (где ) – объём производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня).

Тогда дополнительная прибыль предприятия при заданном ассортименте выпускаемой продукции составит:

.

Ограничения по запасам имеющихся ресурсов:

Ограничения по объему производства:

Условия неотрицательности объемов производства:

.

Условия целочисленности объемов производства:

.

Экономико-математическая модель представленной задачи планирования производства составлена.

2. Определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальный план производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня).

На листе 1 новой книги Microsoft Excel, названной «Задача планирования производства», в ячейки А3:F12 введем исходные данные как на рис.1

Рис. 1. Ввод исходных данных задания 1

В ячейках А14:Е16 сформируем таблицу оптимального плана производства токарной продукции ООО «ТИТАН», причем ячейки В16:Е16 заполняем нулями.

Ячейки G7:G8 объединим и введем «Требуемое количество ресурсов», а в ячейку G9 формулу, определяющую общее количество стали, необходимое для производства всего объема токарной продукции: «=СУММПРОИЗВ(B9:E9;$B$16:$E$16)» (Для вставки функции «СУММПРОИЗВ» необходимо выполнить команду «Вставка»/«Функция», в открывшемся окне Мастера функции выбрать категорию «Математические», функцию СУММПРОИЗВ(). Данная функция возвращает сумму произведений соответствующих элементов массивов и диапазонов. Далее необходимо заполнить поля функции СУММПРОИЗВ: в поле «Массив 1» указываются ячейки B9:Е9, содержащие нормы затрат стали на производство единицы продукции каждого вида, в поле «Массив 2» – ячейки $B$16:$E$16, содержащие оптимальный план производства токарной продукции, причем ссылки на эти ячейки должны быть абсолютными, для чего после выбора этих ячеек нажимаем клавишу F4 на клавиатуре). Далее копируем формулу из ячейки G9 в ячейку G10.

Рис. 2. Ввод аргументов функции СУММПРОИЗВ()

Ячейки G11 и G12 объединим и введем формулу, определяющую общее количество денежных средств, необходимых для оплаты труда рабочих и последующую обработку произведенной продукции: =СУММПРОИЗВ(B11:E11;$B$16:$E$16)+СУММПРОИЗВ(B12:E12;$B$16:$E$16)».

Затем в ячейку А18 введем «Целевая функция (доп. доход ООО "ТИТАН" от производства токарной продукции):», а в ячейку G18 – формулу: =СУММПРОИЗВ(B4:E4;B16:E16)» (в поле «Массив 1» окна аргументов функции СУММПРОИЗВ указываются ячейки B4:E4, содержащие прибыль от реализации единицы продукции каждого вида, в поле «Массив 2» – ячейки B16:E16, содержащие оптимальный план производства токарной продукции ООО «ТИТАН»).

Результатом расчета дополнительной прибыли предприятия от производства токарной продукции в Microsoft Excel на данном этапе выполнения задания является значение, равное нулю (рис. 3). В дальнейшем (после выполнения некоторых манипуляций) в ячейке G18 будет рассчитана максимальная дополнительная прибыль ООО «ТИТАН».

Рис. 3. Результат вычисления введенных формул

Теперь определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальный план производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня), при котором предприятие получит дополнительный доход.

Для этого необходимо выделить ячейку, содержащую значение целевой функции (ячейку G18), и выполнить команду «Сервис»/ «Поиск решения…». В открывшемся окне надстройки «Поиск решения…» в поле «Целевая ячейка» уже будет указано: «$G$18» (т.е. ячейка, содержащая значение дополнительной прибыли рассматриваемого предприятия от производства токарной продукции), необходимо установить флажок «Равной максимальному значению», в поле «Изменяя ячейки» – выбрать «$В$16:$Е$16», т.е. ячейки, содержащие оптимальный план производства гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня (рис. 4). Далее указываем ограничения следующим образом: нажимаем кнопку «Добавить», и в открывшемся окне вводим ограничение по запасам имеющихся ресурсов (стали и трудозатрат) (рис. 5), нажимаем «ОК», еще раз нажимаем кнопку «Добавить» и вводим ограничение по имеющимся денежным средствам на оплату труда рабочих и последующую обработку токарной продукции (рис. 6). Аналогично добавляем ограничение по объему производства (рис. 7), условие неотрицательности объема производства (рис. 8), а также условие целочисленности объема производства (рис. 9).

Рис. 4. Окно «Поиск решений» задания 1

Рис. 5. Ввод ограничения по запасам имеющихся ресурсов (стали и трудозатрат)

Рис. 6. Ввод ограничения по имеющимся денежным средствам

Рис. 7. Ввод ограничения по объему производства

Рис. 8. Ввод условия неотрицательности

Рис. 9. Ввод условия целочисленности

Далее в окне поиска решений (рис. 4) нажимаем кнопку «Параметры», в открывшемся окне «Параметры поиска решения» устанавливаем флажок «Линейная модель» (рис. 10), нажимаем «ОК». В окне поиска решений (рис. 4) нажимаем «Выполнить».

Рис. 10. Окно «Параметры поиска решения»

В результате получим такой план производства гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня ООО «ТИТИАН» (ячейки В16:Е16), при котором дополнительный доход предприятия примет максимальное значение, равное 32389 руб. (ячейка G18) (рис. 11).

Рис. 11. Результат поиска решения (оптимального плана производства)

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулируем оптимальное управленческое решение в описанных условиях.

Для обеспечения максимальной дополнительной прибыли в размере 32294 рубля предприятию ООО «ТИТАН» следует производить гайки стремянки в количестве 1450 шт., гайки штанги – 1099 шт., гайки МОД – 525 шт. в месяц, 342 шт. кольца шкворня.

Дефицитным ресурсом при этом являются трудозатраты и запасы стали, поскольку их остатки почти равны нулю. Увеличение недефицитных ресурсов: запаса стали, денежных средств на оплату труда рабочих и последующую обработку изделий, не может влиять на оптимальный план производства токарной продукции ООО «ТИТАН».

Задание 2. Транспортная задача

В регионе имеются четыре угольные шахты, объем добычи угля в которых составляет соответственно ( ) тонн в день. Первичную переработку угля осуществляют три фабрики, производственные возможности которых составляют ( ) тонн в день соответственно.

Перевозка угля от шахт до фабрик осуществляется с помощью железнодорожного транспорта. Транспортные затраты составляют руб. за т.-км. Расстояние от шахт до углеперерабатывающих фабрик приведено в таблице:

Расстояние от шахт до углеперерабатывающих фабрик, в км

Угольные шахты	Углеперерабатывающие фабрики
Расстояние от шахт до углеперерабатывающих фабрик

Исходные данные задания 2

Пока-затель
Значе-ние
Пока-затель
Значе-ние

Необходимо:

1. Построить экономико-математическую модель представленной транспортной задачи.

2. Определить с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны.

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулировать оптимальное управленческое решение в описанных условиях.

4. Найти с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что в регионе открылась пятая угольная шахта с объемом добычи угля в тонн в день, расстояние от которой до перерабатывающих фабрик составляет соответственно ( ) км. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

5. Найти с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что открылась четвертая углеперерабатывающая фабрика с производственной мощностью в тонн в день, при этом расстояние от каждой шахты до новой фабрики составляет соответственно ( ) км. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Решение:

1. Построим экономико-математическую модель представленной транспортной задачи.

Обозначим через – объём перевозки угля от –ой шахты до –ой перерабатывающей фабрики.

Тогда суммарные транспортные затраты на перевозку составят:

Заданные объемы добычи угольных шахт и производственные возможности перерабатывающих фабрик накладывают ограничения на значения объемов перевозок угля :

Мощность всех шахт должна быть реализована:

Потребности фабрик должны быть удовлетворены:

Объемы перевозимого угля не могут быть отрицательными:

.

Экономико-математическая модель представленной транспортной задачи составлена.

2. Определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны.

Для начала проверим тип представленной транспортной задачи. Так как (суммарная мощность шахт равна суммарной потребности фабрик), то данная задача является закрытой, а ее решение можно найти.

Далее на листе 2 книги Microsoft Excel, названной «Транспортная задача», в ячейки А3:Е12 введем исходные данные как на рис. 12.

Рис. 12. Ввод исходных данных задания 2

В ячейках А15:D19 сформируем матрицу оптимального распределения поставок угля, причем ячейки В16:D19 заполняем нулями (см. рис. 13).

В ячейку Е15 введем «Вывезенное из шахт количество угля», а в ячейку Е16 формулу, определяющую общее количество угля, вывезенного из первой шахты: «=СУММ(B16:D16)». Далее копируем формулу из ячейки Е16 в ячейки Е17:Е19, как на рис. 13.

В ячейку А20 введем «Поступившее на фабрики количество угля», а в ячейку В20 формулу, определяющую общее количество угля, поступившего из всех шахт на первую перерабатывающую фабрику: =СУММ(B16:B19)». Далее копируем формулу из ячейки В20 в ячейки С20:D20, как на рис. 13.

Рис. 13. Ввод формул задания 2

Затем в ячейку А22 введем «Целевая функция (суммарные транспортные затраты на перевозку угля):», а в ячейку Е22 – формулу:
«=B3*СУММПРОИЗВ(B8:D11;B16:D19)» (в поле «Массив 1» окна ввода аргументов функции СУММПРОИЗВ указываются ячейки B8:D11, содержащие расстояние от шахт до углеперерабатывающих фабрик, в поле «Массив 2» – ячейки B16:D19, содержащие оптимальное распределение поставок угля от шахт до углеперерабатывающих фабрик).

Результатом расчета суммарных транспортных затрат на перевозку угля в Microsoft Excel на данном этапе выполнения задания является значение, равное нулю (рис. 14). В дальнейшем (после выполнения некоторых манипуляций) в ячейке Е22 будут рассчитаны минимальные суммарные транспортные затраты на перевозку угля.

Рис. 14. Результат вычисления формул задания 2

Теперь определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны.

Для этого необходимо выделить ячейку, содержащую значение целевой функции (ячейку Е22), и выполнить команду «Сервис»/ «Поиск решения…». В открывшемся окне надстройки «Поиск решения…» в поле «Целевая ячейка» уже будет указано: «$Е$22» (т.е. ячейка, содержащая значение суммарных транспортных затрат на перевозку угля), необходимо установить флажок «Равной минимальному значению», в поле «Изменяя ячейки» – выбрать «$В$16:$D$19», т.е. ячейки, содержащие матрицу оптимального распределения поставок угля (рис. 15). Далее указываем ограничения следующим образом: нажимаем кнопку «Добавить», и в открывшемся окне вводим ограничение по мощности всех угольных шахт (мощность всех шахт должна быть реализована) (рис. 16), еще раз нажимаем кнопку «Добавить» и вводим ограничение по производственным возможностям углеперерабатывающих фабрик (потребности фабрик должны быть удовлетворены) (рис. 17), еще раз нажимаем кнопку «Добавить» и вводим условие неотрицательности (объемы перевозимого угля не могут быть отрицательными) (рис. 18), нажимаем «ОК». В окне поиска решений (рис. 15) нажимаем кнопку «Параметры», в открывшемся окне «Параметры поиска решения» устанавливаем флажок «Линейная модель», нажимаем «ОК». В окне поиска решений (рис. 15) нажимаем «Выполнить».

Рис. 15. Окно «Поиск решений» (транспортная задача)

Рис. 16. Ввод ограничения по мощности всех угольных шахт

Рис. 17. Ввод ограничения по производственным возможностям углеперерабатывающих фабрик

Рис. 18. Ввод условия неотрицательности

В результате получим такое распределение поставок угля с шахт на перерабатывающие фабрики (ячейки В16:D19), при котором суммарные транспортные издержки принимают минимальное значение, равное 7 448 000 руб. (ячейка Е22) (рис. 19).

Рис. 19. Результат поиска решения (оптимального распределения поставок угля)

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулируем оптимальное управленческое решение в описанных условиях.

Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили 7448 тыс. руб. необходимо придерживаться следующего оптимального плана распределения поставок угля:

- с первой шахты весь объем добытого за день угля (это 220 т.) необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику;

– со второй шахты весь объем добытого за день угля (это 160 т.) необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику;

– с третьей шахты 30 т. необходимо перевезти на первую и 210 т. на третью перерабатывающую фабрику;

– с четвертой шахты 60 т. необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику, 90 т. – на вторую.

4. Найдем с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что в регионе открылась пятая угольная шахта с объемом добычи угля в тонн в день, расстояние от которой до перерабатывающих фабрик составляет соответственно ( ) км.

Сначала составим экономико-математическую модель представленной транспортной задачи с измененными условиями:

Заданные объемы добычи угольных шахт и производственные возможности перерабатывающих фабрик накладывают ограничения на значения объемов перевозок угля :

Мощность всех шахт должна быть реализована:

Потребности фабрик должны быть удовлетворены:

Объемы перевозимого угля не могут быть отрицательными:

Проверим тип представленной транспортной задачи с измененными условиями.

Так как (суммарная мощность шахт не равна суммарной потребности фабрик), то данная задача является открытой, необходимо привести ее к закрытой.

Для этого введем фиктивного потребителя (перерабатывающую фабрику), производственная потребность в угле которой составляет . Все значения расстояний от шахт до этой углеперерабатывающей фабрики .

После введения фиктивной фабрики задача становится закрытой, и её математическая модель будет иметь вид:

Далее на листе 2 книги «Транспортная задача» Microsoft Excel, в ячейки А1:F11 введем исходные данные дополненной задачи как на рис. 20.

Рис. 20. Ввод исходных данных транспортной задачи с измененными условиями

В ячейках А14:Е19 сформируем матрицу оптимального распределения поставок угля, причем ячейки В15:Е19 заполняем нулями (см. рис. 21).

В ячейку F14 введем «Вывезенное из шахт количество угля», а в ячейку F15 формулу, определяющую общее количество угля, вывезенного из первой шахты: «=СУММ(B15:Е15)». Далее копируем формулу из ячейки F15 в ячейки F16:F19, как на рис. 21.

В ячейку А20 введем «Поступившее на фабрики количество угля», а в ячейку В20 формулу, определяющую общее количество угля, поступившего из всех шахт на первую перерабатывающую фабрику: =СУММ(B15:B19)». Далее копируем формулу из ячейки В20 в ячейки С20:E20, как на рис. 21.

Рис. 21. Ввод формул транспортной задачи с измененными условиями

Затем в ячейку А22 введем «Целевая функция (суммарные транспортные затраты на перевозку угля):», а в ячейку F22 – формулу: «B1*СУММПРОИЗВ(B6:E10;B15:E19)» (рис. 22).

Результатом расчета суммарных транспортных затрат на перевозку угля в Microsoft Excel на данном этапе выполнения задания является значение, равное нулю (рис. 22). В дальнейшем (после выполнения некоторых манипуляций) в ячейке F22 будут рассчитаны минимальные суммарные транспортные затраты на перевозку угля.

Рис. 22. Результат вычисления формул задачи с измененными условиями

Теперь определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны.

Для этого необходимо выделить ячейку, содержащую значение целевой функции (ячейку F22), и выполнить команду «Сервис»/ «Поиск решения…». В открывшемся окне надстройки «Поиск решения…» в поле «Целевая ячейка» уже будет указано: «$F$22» (т.е. ячейка, содержащая значение суммарных транспортных затрат на перевозку угля), необходимо установить флажок «Равной минимальному значению», в поле «Изменяя ячейки» – выбрать «$В$15:$E$19», т.е. ячейки, содержащие матрицу оптимального распределения поставок угля (рис. 23). Далее указываем ограничения по мощности всех угольных шахт, по производственным возможностям углеперерабатывающих фабрик, а также условие неотрицательности (рис.23) (аналогично тому, как это было показано ранее). В окне поиска решений (рис. 23) нажимаем кнопку «Параметры», в открывшемся окне «Параметры поиска решения» устанавливаем флажок «Линейная модель», нажимаем «ОК». В окне поиска решений (рис. 23) нажимаем «Выполнить».

Рис. 23. Окно «Поиск решений» (задача с измененными условиями)

В результате получим такое распределение поставок угля с шахт на перерабатывающие фабрики (ячейки В15:Е19), при котором суммарные транспортные издержки принимают минимальное значение, равное 7040 тыс.руб. (ячейка Е22) (рис. 24).

Рис. 24. Результат поиска решения (оптимального распределения поставок в задаче с измененными условиями)

Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.

Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили 7040 тыс. руб. необходимо придерживаться следующего оптимального плана распределения поставок угля:

– с первой шахты весь объем добытого за день угля (это 220 т.) необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику;

– со второй весь объем добытого за день угля (это 160т.) необходимо перевезти во вторую перерабатывающую фабрику;

– с третьей шахты 90 т. необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику и 150 т на третью фабрику;

– с четвертой шахты 150 т. добытого угля не будет вывезено;

– с пятой шахты 90 т. необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику, 60 т. на третью и 30 т. не будет вывезено.

5. Найдем с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что открылась четвертая углеперерабатывающая фабрика с производственной мощностью в тонн в день, при этом расстояние от каждой шахты до новой фабрики составляет соответственно ( ) км.

Сначала составим экономико-математическую модель представленной транспортной задачи с измененными условиями:

Проверим тип представленной транспортной задачи с измененными условиями.

Так как (суммарная мощность шахт не равна суммарной потребности фабрик), то данная задача является открытой, необходимо привести ее к закрытой.

Для этого введем фиктивного поставщика (угольную шахту), добыча угля которой составляет т. в день. Все значения расстояний от этой фиктивной шахты до углеперерабатывающих фабрик .

После введения фиктивной шахты задача становится закрытой, и её математическая модель будет иметь вид:

Далее на листе 3 книги «Транспортная задача» Microsoft Excel, в ячейки А1:F11 введем исходные данные дополненной задачи как на рис. 25.

Рис. 25. Ввод исходных данных второй задачи с измененными условиями

Далее выполняется последовательность действий, аналогичная п. 4.

В результате поиска решения получим такое распределение поставок угля с шахт на перерабатывающие фабрики (ячейки В15:Е19), при котором суммарные транспортные издержки принимают минимальное значение, равное 6512 тыс.руб. (ячейка Е22) (рис. 26).

Рис. 26. Результат поиска решения (оптимального распределения поставок во второй задаче с измененными условиями)

Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.

Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили 6512 тыс. руб. необходимо придерживаться следующего оптимального плана распределения поставок угля:

– с первой шахты весь объем добытого за день угля (это220 т.) необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику;

– со второй шахты весь объем добытого за день угля (это 160 т.) необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику;

– с третьей шахты 30 т. надо перевезти на первую перерабатывающую фабрику и 210 т. на третью;

– с четвертой шахты весь объем добытого за день угля (это 150 т.) необходимо перевезти на четвертую перерабатывающую фабрику.

Кроме того, важно отметить, что согласно полученному оптимальному распределению перевозки угля производственная потребность первой перерабатывающей фабрики не будет удовлетворена на 60 т., второй на 90 т., а четвертой на 130 т.

Задание 3. Задача распределения средств между инвестиционными проектами

Руководство финансовой компании рассматривает 4 инвестиционных проекта, между которыми собирается распределить 175 млн. руб. В зависимости от объема выделенных средств , каждый инвестиционный проект приносит финансовой компании дополнительный доход , ( ).

Объем выделенных денежных средств, x (млн. руб.)	Дополнительный доход инвестиционного проекта в зависимости от объема выделенных денежных средств, (у.е.)

Необходимо:

1. Определить размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты.

2. Определить оптимальное распределение средств финансовой компании, обеспечивающее ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты.

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Решение:

1. Определим размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты.

Согласно обратной схеме Беллмана показатель эффективности 4-ого шага:

;

- показатель эффективности 1-го инвестиционного проекта.

- объединённый показатель эффективности 2-х инвестиционных проектов.

Произведем вычисления значений функции и представим их в таблице 1:

Таблица 1

Объем выделенных денежных средств, x (млн. руб.)	Дополнительный доход инвестиционного проекта в зависимости от объема выделенных денежных средств, (у.е.)	Показатели эффективности в зависимости от объема выделенных средств, (у.е.)

Объединённый показатель эффективности 3-х инвестиционных проектов - . Произведем вычисления значений функции и представим их в таблице 1.

Объединённый показатель эффективности 4-х инвестиционных проектов – . Произведем вычисления значений функции и представим их в таблице 1.

В результате вычислений получили, что максимальное значение функции цели составляет .

Таким образом, размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты составляет 64 у.е.

2. Определим оптимальное распределение средств финансовой компании, обеспечивающее ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты.

Из таблицы 1 находим оптимальные планы распределения выделенных средств.

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.

Согласно оптимальному распределению средств финансовой компании, обеспечивающему ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты, равной 64 у.е., на реализацию третьего инвестиционного проекта необходимо выделить 175 млн. руб., а на реализацию первого, второго и четвертого инвестиционных проектов денежные средства выделять не следует.

Задание 4. Задача замены оборудования

На производственном предприятии ООО «ТИТАН» оборудование эксплуатируется в течение лет, после чего продается (считается, что после лет оборудование в результате морального износа не способно обеспечить выпуск конкурентоспособной продукции). В начале каждого года руководство предприятия принимает решение сохранить оборудование или заменить его новым аналогичным (при этом старое оборудование продается, а вырученные средства направляются на покрытие части стоимости нового оборудования). Первоначальная стоимость нового оборудования составляет 9500 тыс. руб., затраты на содержание оборудования – тыс. руб., и ликвидная стоимость оборудования – тыс. руб.

						–
	–

Необходимо:

1. Определить минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию оборудования в течение рассматриваемого периода .

2. Определить оптимальную стратегию (план-график) эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение рассматриваемого периода в условиях текущих цен.

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Решение:

1. Определим минимальные суммарные затраты производственного предприятия ООО «ТИТАН» на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет. Проведем на размеченном графе (рис. 27) условную оптимизацию.

5 шаг. В состояниях (5, t) оборудование продается, условный оптимальный доход от продажи равен ликвидной стоимости j(t), но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5, t) ставим величину дохода со знаком «-».

4 шаг.

Состояние (4,1).

т. (5,2)

т. (5,1)

т. (4,1)

Таким образом, если система к последнему шагу находилась в точке (4,1), то следует идти в точку (5,2) (укажем это направление пунктирной линией).

Состояние (4,2).

т. (5,3)

т. (5,1)

т. (4,2)

Состояние (4,3).

т. (5,4)

т. (5,1)

т. (4,3)

Состояние (4,4).

т. (5,5)

т. (5,1)

т. (4,4)

3 шаг.

Состояние (3,1).

т. (4,2)

т. (4,1)

т. (3,1)

Состояние (3,2).

т. (4,3)

т. (4,1)

т. (3,2)

Состояние (3,3).

т. (4,4)

т. (4,1)

т. (3,3)

2 шаг.

Состояние (2,1).

т. (3,2)

т. (3,1)

т. (2,1)

Состояние (2,2).

т. (3,3)

т. (3,1)

т. (2,2)

1 шаг.

Состояние (1,1).

т. (2,2)

т. (2,1)

т. (1,1)

После проведения условной оптимизации в точке (0,0) получим минимальные затраты на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет с последующей продажей:

усл. ден. ед.

2. Определим оптимальную стратегию (план-график) эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты производственного предприятия ООО «ТИТАН» на эксплуатацию в течение 5 летв условиях текущих цен.

Строим оптимальные траектории, перемещаясь из точки (0,0) по пунктирным линиям в конечное состояние (рис. 28).

Получаем следующие наборы точек, соответствующие управлениям:

(0,0); (1,1); (2,2); (3,1); (4,2); (5,3) - ;

(0,0); (1,1); (2,2); (3,3); (4,1); (5,2) - ;

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Согласно первой стратегии эксплуатации оборудования, обеспечивающей минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение 5 лет, его следует заменить в начале 3-го года, согласно второй стратегии - в начале 4-го года.

t

k

-1200

-6000

-2400

-4500

-7000

-890

-2390

-3300

-1300

-5090

Рис. 27. Размеченный граф условной оптимизации

Список использованной литературы

1. Гончаров, В.А. Методы оптимизации: учебное пособие / В.А. Гончаров – М. : Высшее образование, 2010. – 192 с. – (Основы наук). – ISBN 978-5-9692-0337-2.

2. Дорогов, В.Г. Введение в методы и алгоритмы принятия решений: Учебное пособие / В.Г. Дорогов, Я.О. Теплова. – М. : ИД ФОРУМ: ИНФРА-М, 2012. – 240 с., (Гриф) //ЭБС znanium.com/ ООО Издательский Дом ИНФРА-М (RU)

3. Замков, О.О. Математические методы в экономике: учебник/ О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных; под ред. А.В. Сидоровича. 5-е изд., испр. – М. : Дело и сервис, 2009. – 380 с. – (Учебники МГУ им. М.В. Ломоносова). – ISBN 978-5-8018-0424-8.

4. Лугинин, О.Е. Экономико-математические методы и модели: теория и практика с решением задач: учебное пособие / О.Е. Лугинин, В.Н. Фомишина. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2009. – 440 с. – (Высшее образование). – Библиогр.: с. 435-440. – ISBN 978-5-222-14518-0.

5. Математические и инструментальные методы экономики: учебное пособие / П.В. Акинин [и др.]. – М. : КНОРУС, 2012 . – 230 с. – ISBN 978-5-406-01560-5.

6. Методы оптимальных решений: в 2-х т.: учебное пособие. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2011. Том 1: Общие положения. Математическое программирование / А.В. Соколов, В.В. Токарев . – 2-е изд., испр. – 564 с. – Предм. указ.: с.556-563. – ISBN 978-5-9221-1257-4.

7. Методы оптимальных решений: в 2-х т.: учебное пособие. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2011. Том 2: Многокритериальность. Динамика. Неопределенность / В.В. Токарев . – 2-е изд., испр. – 416 с. – Предм. указ.: с.414-416. – ISBN 978-5-9221-1258-1.

8. Орлова, И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. – 2-е изд., испр. и доп. — М. : Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012. – 140 с. //ЭБС znanium.com/ ООО Издательский Дом ИНФРА-М (RU).

9. Задачи оптимизации в MS Excel http://exsolver.narod.ru/

10. Официальные обучающие материалы Microsoft по Excel и другим офисным программам http://office.microsoft.com/ru-ru/excel-help

11. Решение прикладных задач в MS Excel http://citforum.ru/pp/excel70.shtml

12. Сайт материалов кафедры высшей математики ИЭУП (Казань) http://www.ieml-math.narod.ru

13. Управление экономическими системами. Электронный научный журнал http://www.uecs.ru/