Теорема. Необходимое условие касательного решения.

Если x*=(x₁*, x₂*) – касательная точка равновесия, т.е. план производства по ресурсам, обеспечивающий выпуск q единиц продукции с минимальными издержками, ПФ дифференцируема в этой точке, то

Производитель заменяет один ресурс другим, пока это выгодно. . Переписав пропорцию: , получим правило равной производительности ресурсов на единицу затрат. Это правило можно распространить на любое число ресурсов (факторов). Отдачи ресурсов в расчете на единицу затрат равны для всех используемых ресурсов. Рубль затрат в любой ресурс приносит одинаковый эффект. В рыночной экономике происходит согласование способа производства с соотношением цен на факторы, Другими словами, производительность факторов (отдача ресурсов) должна соответствовать их стоимости, в результате ограниченные ресурсы используются самым эффективным способом.

Но, если для всех точек на изокванте (всех допустимых планов) MRTS₁₂ не совпадает с отношением цен, а точка равновесия лежит на одной из осей (одна из координат точки равна 0), то решение задачи называют угловым.

Необходимое условие угловой точки равновесия:

Если оптимальный план x*=(0, x₂*), то , (невыгодно использовать даже первую единицу первого ресурса).

Если оптимальный план x*=(x₁*, 0), то , (невыгодно использовать даже первую единицу второго ресурса).

Необходимые условия позволяют аналитически найти критические точки, которые затем проверяются на оптимальность. Если задачу (1) решать для произвольного объёма выпуска, считая q параметром, то как раз получим функцию спроса на ресурсы и функцию переменных издержек С_v( q).

Пример.Найдем функцию переменных издержек для линейной ПФ:

► Геометрически (рис.8) найдем точку равновесия, для этого в одной системе координат построим изокванту и семейство изокост, используя угол наклона изокванты tga=–a₁/a₂ и изокосты tgj = – w₁/w₂. Для определенности предположим, что w₁/w₂ > a₁/a₂.

Рис. 8. Поиск оптимального плана для линейной ПФ.

Все планы, лежащие на изокванте, дают q единиц продукции. Поскольку нам нужно найти минимум функции G(x), то есть самый дешевый план, то двигая изокосту в направлении, противоположном вектору градиента w=(w₁, w₂) на пересечении изокосты и изокванты будем получать все более дешевые планы. Так, план В дешевле, чем план С, а план А дешевле, чем В. Из рисунка видно, что план А – самый дешевый, обеспечивающий выпуск q единиц продукции.

Получили угловую точку равновесия: argmin G(x) = x* = (0, q/a₂).

Стоимость ресурсов в оптимальном плане составит G_min=С_v(q)=w₂ q/a₂ ден. единиц.

В общем случае, для линейной ПФ двух переменных функция переменных издержек имеет вид С_v(q)=min{w₁/a₁, w₂/a₂} q. ◄

Геометрический подход к поиску точки равновесия для ПФ Кобба-Дугласа (см. рис. 7) может дать нам лишь приближенный результат. Чтобы найти точное решение и построить функцию издержек, рекомендуется пользоваться теоремой:

Теорема. Если ПФ является однородной степени m, то

функция спроса на ресурсы имеет вид , где – план выпуска, обеспечивающий выпуск единицы продукции с наименьшими переменными издержками (стоимость плана x¹ есть C_v(1)),

функция переменных издержек имеет вид

Если ПФ является однородной степени m, то, для получения функции переменных издержек, следует найти стоимость плана, дающего единицу продукции с наименьшими переменными издержками, а затем умножить ее на q^1/m [12].

Следствие. Если ПФ характеризуется постоянным эффектом масштаба (является однородной степени 1), то она порождает линейную функцию издержек

На практике часто возникает задача поиска такого сочетания ресурсов, которое давало бы максимальное количество продукции при наличии бюджетного ограничения:

при условии (2)

т.е. задача выпустить как можно больше продукции, затратив определенную сумму денег. Решается задача (2) аналогично (1), даже необходимые условия касательного и углового решений выглядят точно так же.