Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма

Определение 1:. f(x) – возрастает (не убывает) в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , если

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru .

Определение 1’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , если

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru

Определение 1’’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , если

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru

Определение 2. f(x) – убывает (не возрастает) в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , если

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru .

Определение 2’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , если

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru

Определение 2’’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , если

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru

Теорема 1:(Необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru )

Если f возрастает (не убывает) в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru и дифференцируема в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , то Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru .

Доказательство:

Т.к. функция возрастает (не убывает), то, по определению 1’’ ,

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , а значит и Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru . Теорема доказана.

Теорема 1’(Необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru )

Если f убывает (не возрастает) в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru и дифференцируема в точке, то Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru .

Доказательство:

Т.к. функция убывает (не возрастает), то, по определению 2’’ ,

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , а значит и Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , теорема доказана.

Теорема 2: (Достаточное условие возрастания)

Если f(x) дифференцируема в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , причем Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , то f(x) возрастает в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru .

Доказательство:

По теореме о сохранении знака:

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , значит

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru f возрастает.

Теорема доказана.

Замечание: если Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , то про возрастание сказать ничего нельзя.

Теорема 2’: (Достаточное условие убывания)

Если f(x) дифференцируема в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , причем Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , то f(x) убывает в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru .

Доказательство:

По теореме о сохранении знака:

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , значит

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru f(x) убывает.

Теорема доказана.

Замечание: если Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , то про убывание сказать ничего нельзя.

Теорема Ферма:(Необходимое условие существования экстремума)

Если f(x) дифференцируема в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru и Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru – точка локального экстремума, то Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru .

Доказательство:

Пусть Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru f(x) возрастает в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , т.е.

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , т.е. Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru – не точка экстремума.

Аналогично невозможен случай Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , следовательно Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru .

Теорема доказана.

Билет 12

Теорема Ролля.

Теорема:

Если функция Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru непрерывна на Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , дифференцируема на Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru и Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , то существует точка Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , такая, что Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru .

Доказательство:

Так как функция f непрерывна на [a,b], то существует точка x1, в которой f достигает максимума и точка x2, в которой f достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:



  1. Обе точки x1 и x2 совпадают с a или b, тогда Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru

И тогда Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru производная Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru

  1. Одна из точек не является концевой отрезка [a,b]. Пусть Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru - та из них, которая Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , тогда в точке Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru достигается локальный экстремум, кроме того, Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , так как по условию Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru существует Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru . Поэтому по теореме Ферма Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru , что и требовалось доказать.

Контрпример 1

Уберем непрерывность в точке b: теорема потеряет силу.

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru

Контрпример 2

Уберем дифференцируемость в одной из точек: теорема потеряет силу.

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если выполнены все условия теоремы, то на графике функции ! Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru существует точка Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru касательная в которой параллельна оси x.

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма - student2.ru

Физический смысл: при прямолинейном движении если перемещение тела = 0, то существует момент времени, в который скорость тела = 0.

Билет 13

Наши рекомендации