Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма
Определение 1:. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если
.
Определение 1’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если
Определение 1’’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если
Определение 2. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если
.
Определение 2’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если
Определение 2’’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если
Теорема 1:(Необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке )
Если f возрастает (не убывает) в точке и дифференцируема в точке , то .
Доказательство:
Т.к. функция возрастает (не убывает), то, по определению 1’’ ,
, а значит и . Теорема доказана.
Теорема 1’(Необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке )
Если f убывает (не возрастает) в точке и дифференцируема в точке, то .
Доказательство:
Т.к. функция убывает (не возрастает), то, по определению 2’’ ,
, а значит и , теорема доказана.
Теорема 2: (Достаточное условие возрастания)
Если f(x) дифференцируема в точке , причем , то f(x) возрастает в точке .
Доказательство:
По теореме о сохранении знака:
, значит
f возрастает.
Теорема доказана.
Замечание: если , то про возрастание сказать ничего нельзя.
Теорема 2’: (Достаточное условие убывания)
Если f(x) дифференцируема в точке , причем , то f(x) убывает в точке .
Доказательство:
По теореме о сохранении знака:
, значит
f(x) убывает.
Теорема доказана.
Замечание: если , то про убывание сказать ничего нельзя.
Теорема Ферма:(Необходимое условие существования экстремума)
Если f(x) дифференцируема в точке и – точка локального экстремума, то .
Доказательство:
Пусть f(x) возрастает в точке , т.е.
, т.е. – не точка экстремума.
Аналогично невозможен случай , следовательно .
Теорема доказана.
Билет 12
Теорема Ролля.
Теорема:
Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что .
Доказательство:
Так как функция f непрерывна на [a,b], то существует точка x1, в которой f достигает максимума и точка x2, в которой f достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:
- Обе точки x1 и x2 совпадают с a или b, тогда
И тогда производная
- Одна из точек не является концевой отрезка [a,b]. Пусть - та из них, которая , тогда в точке достигается локальный экстремум, кроме того, , так как по условию существует . Поэтому по теореме Ферма , что и требовалось доказать.
Контрпример 1
Уберем непрерывность в точке b: теорема потеряет силу.
Контрпример 2
Уберем дифференцируемость в одной из точек: теорема потеряет силу.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если выполнены все условия теоремы, то на графике функции ! существует точка касательная в которой параллельна оси x.
Физический смысл: при прямолинейном движении если перемещение тела = 0, то существует момент времени, в который скорость тела = 0.
Билет 13