Необходимое условие устойчивости

Таким условием является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (6.5). В этом можно убедиться, если при известных корнях представить характеристический полином в виде произведения

В случае, когда все корни , вещественные , характеристическое уравнение принимает вид

Раскрывая скобки, получим уравнение типа (6.5), где все коэффициенты будут положительными. Можно убедиться в том, что аналогичный результат получится, если корни комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью.

Таким образом, коэффициенты характеристического уравнения (6.5) устойчивой системы всегда будут положительны. При наличии хотя бы одного отрицательного коэффициента система будет неустойчива, дополнительных исследований не требуется.

В то же время следует помнить, что положительность всех коэффициентов характеристического уравнения еще не гарантирует устойчивости системы, необходима ее дополнительная проверка.

В ТАУ основным инженерным методом решения дифференци­альных уравнений, т. е. исследования поведения систем во времени, является преобразование Лапласа. Его преимущество заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оно заменя­ет более простыми алгебраическими операциями умножения и деле­ния. Из-за необходимости вычислять корни характеристического уравнения преобразование Лапласа целесообразно использовать лишь для систем до четвертого порядка, решать ОДУ более высокого по­рядка удобнее численными методами на ЭВМ.

Рассмотрим принцип решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа. На первом этапе производят пря­мое преобразование X(s) = L{x(t)} – от функции времени переходят к функции комплексной переменной Лапласаs = σ + jω = α + jβ. Здесь ω = 2πf – это известная из электротехники круговая частота, рад/с. Далее решают алгебраическое уравнение реакции, для чего находят собственные значения системы, т. е. корни характеристического урав­нения D(s) = 0, и по теореме разложения определяют коэффициенты числителей простых дробей, на которые в соответствии с собствен­ными значениями разлагается реакция. В конце вычислений выпол­няют обратное преобразование Лапласа x(t) = L^-1{X(s)} – от функции переменной s возвращаются к функции переменной t.

Общее обозначение описанных операций x(t)÷X(s), где слева строчными буквами изображена функция времени (оригинал), справа, прописной буквой – функция комплексного переменного (изображе­ние), а между ними стоит символ соответствия (ни в коем случае не равенства, что будет являться грубой ошибкой!). Практически все функции электротехники и ТАУ соответствуют требованиям к ориги­налу (функция кусочно-непрерывна на участке исследования, равна нулю при t< 0 и ограничена функцией , где σ₀ – абсцисса абсо­лютной сходимости).

Иногда для обозначения оператора дифференцирования p ≡ d/dt и комплексной переменной s = σ + jω = α + jβ используют один и тот же символ p, что может приводить к недоразумениям или неправиль­ным результатам. Мы будем далее использовать отдельные обозначе­ния.

Приведем без доказательств свойства преобразования Лапласа.

- Линейностьx(t) + y(t) ÷ X(s) + Y(s).

- Однородностьkx(t) ÷ kX(s).

- Подобие .

- Дифференцирование оригинала

Полином, отражающий начальные условия

При нулевых начальных условиях (значениях переменных в мо­мент t= 0_-, уже существующих в системе) запись упрощается

.

Дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на s в степени, равной порядку дифференцирования (производной).

- Интегрирование оригинала

Учет начальных условий

При нулевых начальных условиях запись упрощается (интегри­рованию оригинала соответствует деление его изображения на s)

.

- Запаздывание (смещение) оригинала во времени на величину τ > 0

.

- Смещение изображения на комплексной плоскости на величину λ

.

- Начальное значение оригинала (при t = 0₊), вычисляемое (обратите внимание на то, что в выражении использован знак равенства, а не со­ответствия)

.

Для вычисления начального значения производной по времени от функции x(t)n-го порядка производится умножение изображения на sⁿ⁺¹

.

Пример: определим начальные значения функции F(s) и ее производной

При подстановке значения переменной s, равного бесконечности, раскры­тие неопределенности производится по правилу Лопиталя, которое, применитель­но к данному случаю, можно сформулировать следующим образом. Если макси­мальная степень, в которую возводится бесконечное число в числителе, больше аналогичной в знаменателе, то все выражение стремится к бесконечности (не за­бывать про знак!), если меньше, то стремится к нулю. Если максимальные степе­ни бесконечных чисел в числителе и знаменателе дроби равны, то все выражение равно отношению коэффициентов при бесконечных величинах.

- Конечное значение оригинала (при t = ∞), также вычисляется с ис­пользованием знака равенства, а не соответствия

.

Пример: .

Прямое

и обратное

преобразования Лапласа являются интегральными, т.е. достаточно сложными для вычисления. Однако, учитывая ограниченное количе­ство используемых функций, в инженерной практике используют вместо них готовые таблицы соответствия оригиналов и изображений (таблица 6.1).

Таблица 6.1

Изображение X(s)	Оригинал x(t)
	импульсная функция k∙δ(t)
	– простой нулевой корень	скачок k∙1(t) или просто k
	– кратный нулевой корень	k∙tn – степенной ряд от t
	– простой действительный корень	– экспонента
	– кратный действительный корень	, при n > 1
	– сопряженные мнимые корни	k∙sinωt – гармоническая функция
	– сопряженные мнимые корни	k∙cosωt – гармоническая функция
сопряженные комплексные корни , объединенные в одну дробь ,   с вычислением	а) предпочтительная форма б) через синус в) через косинус
сопряженные комплексные корни (раздельное представление)	перед d ставят плюс, если знаки мнимых частей изображения в числителе и знаменателе сов­падают (как показано), и минус в противном случае

Примечание – Даже если скачок 1(t) в формуле для входной функции не пишется, то всегда подразумевается, т.к. по Лапласу при t = 0_- любая функция f(t) равна нулю, а затем она появляется скачком. Однако сомножитель 1/s вводят в изображение входной функции лишь в том случае, если она представляет собой чисто ступенчатое воздействие, даже если в функциях-оригиналах другого вида скачок и был указан.

Передаточная функция

Операторная передаточная функция W(s) является основной формой описания систем в операторной области по методу один вход, один выход.

Она может быть получена:

- по структурной схеме (методы эквивалентных преобразований были рассмотрены нами ранее);

- по дифференциальному уравнению – заменяя операцию дифферен­цирования переменной s, функции времени их изображениями по Ла­пласу и считая начальные условия нулевыми, получаем из ОДУ

(a₀ sⁿ + a₁ s^n-1 + ... + a_n ) Y(s) = (b₀ s^m + b₁ s^m-1 + ... + b_m) X(s),

.

Отношение изображений по Лапласу выходной величины к входной при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией.

Для реальных систем m ≤ n, поэтому передаточная функция обычно представляет собой правильную рациональную дробь.

Корни характеристического уравнения

D(s) = a₀sⁿ + a₁s^n-1 + ... + a_n = 0

характеризуют собственные свойства системы и дают решение одно­родного дифференциального уравнения без правой части, т. е. описы­вают свободное движение автономной системы.

Функция 1/D(s) называется системной, функция N(s) – возбуж­дающей.

С точностью до коэффициента b₀/a₀ ПФ может быть выражена корнями полинома числителя (нулями) и полинома знаменателя (полюсами)

.

На комплексной плоскости нули обозначают кружком, а полюса – крестиком.

Поскольку и числитель, и знаменатель представляют собой ал­гебраические многочлены с действительными коэффициентами, ком­плексные корни могут быть только сопряженными, т.е. образовывать пары с положительной и отрицательной мнимыми частями. Число корней равно степени многочлена.

Как правило, ПФ приводят к стандартному виду (нормируют), приравнивая к единице старший коэффициент при s, либо свободный член полиномов.

Нормирование по старшему коэффициенту вида

обычно применяется при работе с корнями или при переходе к описа­нию системы в пространстве состояний.

Нормирование по свободному члену

используется при работе с типовыми динамическими звеньями.

Число перед дробью (общий множитель) называется коэффици­ентом передачи в общем случае и коэффициентом усиления (Gain), ес­ли параметры входа/выхода безразмерны или имеют одинаковую раз­мерность. иk в общем случае не равны. Коэффициент k = b_m/a_n, обозначаемый также k_уст или k(∞), называется коэффициентом усиле­ния системы в установившемся режиме.

ИзW(s) = Y(s)/X(s) следуетY(s) = X(s)∙W(s). Иначе говоря, изо­бражениереакции системы на любое воздействие, имеющее изобра­жение по Лапласу, может быть определено как произведение послед­него на передаточную функцию системы.

Вид W(s) и W(p) схож лишь при нулевых начальных условиях и только для стационарных систем.

Если звено (система) является стационарным, т.е. описывается ОДУ с постоянными коэффициентами, то имеет место сходство меж­ду передаточными функциями в форме изображения Лапласа W(s) и в операторной форме W(p). Чтобы перейти от одной формы к другой, достаточно сделать подстановку p = s и наоборот. Однако для неста­ционарных звеньев эта операция не допускается, для них возможна только форма W(p, t). При ненулевых начальных условиях отличается функция W(s, x₀), в которой появляются элементы учета начальных значений переменных при t = 0, которых нет в W(p).

Решение уравнений движения системы

Для решения дифференциального уравнения с помощью преоб­разования Лапласа необходимо:

- найти корни характеристического уравнения ;

- найти изображение реакции Y(s) и записать его в виде суммы про­стых дробей по теореме разложения в соответствии с полюсами;

- найти коэффициенты числителей каждой дроби (вычеты в полюсах);

- найти оригинал для каждой дроби по таблице соответствия и запи­сать конечное решение в виде суммы отдельных оригиналов.

При этом целесообразно учитывать следующие рекомендации:

а) перед вычислением корней знаменатель обязательно следует нормировать по старшему коэффициенту при s, иначе может возник­нуть типичная ошибка (в примере потерян коэффициент 0,5 при s², на самом деле после преобразования должно быть 10/(s+1)/(s+2))

!

б) нельзя сокращать существующие нули и полюсы с положи­тельной действительной частью, ведущие к неустойчивости системы, если их части не являются целыми числами; остальные нули и полюса могут быть сокращены перед переходом во временную область;

в) для кратных полюсов записывают дробями все степени корня от наибольшей до первой в порядке их убывания;

г) комплексные сопряженные корни записывают, как правило, в виде одной общей дроби.

После разложения на простые дроби и вычисления вычетов по­лезно проверить правильность результата. Первое правило проверки – сумма дробей правой части должна быть равна изображению в левой части равенства. Второе правило проверки – сумма всех составляю­щих оригинала при t = 0 (начальное значение оригинала) в соответст­вии со свойствами преобразования Лапласа должна быть равна .

В общем случае реакция системы состоит из вынужденной и свободной составляющих y(t)=y_вын(t)+y_св(t), изображения которых имеют одинаковый знаменатель (характеристический полином систе­мы)

.

Вынужденная составляющая y_вын(t) является реакцией системы на входное воздействие при нулевых начальных условиях y(0_) = 0. Свободная составляющая y_св(t) или переходный процесс автономной системы является решением однородного дифференциального урав­нения (без правой части) и определяется начальными условиями.

Используют два способа вычисления совокупного переходного процесса. В первом случае система обычно задается ОДУ, производят индивидуальное преобразование каждого члена дифференциального уравнения, вычисляются одновременно вынужденная и свободная со­ставляющие.

По второму способу выполняют независимое вычисление вы­нужденной и/или свободной составляющих, при этом система обычно задана ПФ или структурной схемой. Для вычисления N₀(s) по D(s) ис­пользуется формула (схожая, но не равная вычислению производной)

Если рассчитывается полное движение системы с учетом нену­левых начальных условий, запрещается производить сокращения в левой части ОДУ (в характеристическом полиноме D(s) системы). Обусловлено это требование тем, что именно вид характеристическо­го полинома определяет свободную составляющую переходного про­цесса, т.е. реакцию на начальные условия.

Если начальные условия не заданы, то по умолчанию они счи­таются нулевыми.

Варианты заданий.

Вариант № 1

а) ; б) ;

Вариант № 2

а) ; б) .

Вариант № 3

а) ; б) ;

Вариант № 4

а) ; б) .

Вариант № 5

а) ; б) ;

Вариант № 6

а) ; б) .

Вариант № 7

а) ; б) ;

Вариант № 8

а) ; б) .

Вариант № 9

а) ; б) ;

Вариант № 10

а) ; б) .

Вариант № 11

а) ; б) ;

Вариант № 12

а) ; б) .

Вариант № 13

а) ; б) ;

Вариант № 14

а) ; б) .

Вариант № 15

а) ; б) ;

Вариант № 16

а) ; б) .

Вариант № 17

а) ; б) ;

Вариант № 18

а) ; б) .

Вариант № 19

а) ; б) ;

Вариант № 20

а) ; б) .

Вариант № 21

а) ; б) ;

Вариант № 22

а) ; б) .

Вариант № 23

а) ; б) ;

Вариант № 24

а) ; б) .

Приложение А

(справочное)