Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами

(выполняется по указанию преподавателя)

Кинематическое исследование механизмов методом построения планов скоростей и ускорений позволяет определить с достаточной точностью величину и характер изменения кинематических параметров механизма. Однако построение планов скоростей и ускорений для нескольких положений механизма за весь цикл значительно увеличивает объем проводимой работы, особенно для сложных механизмов. Кроме того, при этом методе значительно усложняется процесс оптимизации кинематических параметров, из-за необходимости многократных построений планов скоростей и ускорений. При использовании вычислительной техники для кинематического исследование механизмов необходимо иметь аналитические зависимости искомых параметров, позволяющие определять их за весь цикл в соответствии с изменениям обобщенных координат.

Одним из методов аналитического исследования кинематики механизмов является метод замкнутых векторных контуров, предложенный В.А. Зиновьевым [ ].

При кинематическом исследовании механизмов этим методом каждое звено механизма представляется в виде вектора определенного направления. Рассмотрим этот метод на примере кривошипно-ползунного механизма (рис.5), в котором кривошип ОА является вектором Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru , а шатун АВ вектором Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru .

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru

Рис.5 Расчетная схема кривошипно-ползунного механизма

Положение точки B в системе координат xoy обозначено вектором Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru Условие замкнутости векторов при принятом направлении векторов Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru и Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru :

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (3)

Углы Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru и Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru соответственно определяют положение векторов Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru и Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru в выбранной системе координат. Спроектируем эти векторы на оси координат:

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (4)

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (5)

Одной из основных задач в данном случае является нахождение функции изменения кинематических параметров механизма при изменении обобщенной координаты Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru . Как следует из уравнения (5):

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (6)

Обозначим Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru - параметр механизма, который в кривошипно-ползунных механизмов транспортных машин изменяется в пределах Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru и определяет их габариты. С учетом Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru формула (6) примет вид:

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (7)

Продифференцируем уравнение (5) по времени при условии Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru .

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru(8)

Из уравнения (8) определим угловую скорость шатуна:

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (9)

Для определения углового ускорения шатуна Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru продифференцируем уравнение (8):

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru

Откуда следует:

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (10)

Направление угловых скоростей и ускорений определяется по соответствии их знака принятому положительному направлению отсчета углов Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ruи Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru .

В соответствии с (7) формулу (4) представим в виде:

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru

Чтобы избавиться от радикала разложим его в бесконечный ряд Маклорена:

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru

Этот ряд быстро сходится и для практических расчетов при Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru достаточно использовать два первых члена. Величина третьего члена Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru при Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru и Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru составляет Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru или 0,05% от единицы.

Таким образом, положение точки B можно приближенно, но с достаточной степенью точности определить по формуле:

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (11)

Продифференцировав дважды уравнение (11) получим также приближенные формулы для определения скорости точки B:

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (12)

и соответственно ускорения:

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (13)

Точное значения ускорения Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru представляется в виде бесконечного тригонометрического ряда:

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru ,

коэффициенты, Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru которого определяются в зависимости от величины Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru . В частности, при Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru коэффициент Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru = 0,254, т.е. незначительно отличается от Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru . Для других значений параметра Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru коэффициенты Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru также незначительно отличаются от его величины, что подтверждает возможность использования формул (12) и (13) при различных Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru .

Определим экстремальные значения ускорения точки B. Для этого продифференцируем уравнение (13) по независимому переменному Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru и приравняем его к нулю.

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (14)

Уравнение (14) дает возможность определить угол Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru , при котором Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru имеет экстремальные значения.Учитывая, что Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru не равно нулю, и заменив Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru его значениями после преобразования получим:

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (15)

откуда Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (16)

Из уравнения (15) получим значения угла Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru и Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru . При этих значениях угла Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru имеют место два вида уравнений, определяющих экстремальные значения ускорения Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru :

при Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru : Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru

при Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru : Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru

Уравнение (16) добавляет еще два дополнительных экстремальных значения в соответствии с формулой:

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru

Так как Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru , то это уравнение справедливо, если Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru . При этом значении Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru получается два угла Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru (во второй третьей четвертях), при которых ускорение Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru имеет экстремальные значения. Характер изменения ускорения Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru в зависимости от угла Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru для разных значений параметра Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru показан на (рис.6).

При кинематическом исследовании сложного механизма (рис.1), состоящего в общем из двух кривошипно-ползунных механизмов с одним кривошипом, необходимо составить расчетную схему, которая будет зависеть от расположения выбранной системы координат.

Кинематическое исследование механизмов аналитическими методами - student2.ru

Рис.6 Кривые ускорения точки В центрального кривошипно-ползунного механизма

Наши рекомендации