Кинематическое исследование механизмов методом графиков

(кинематических диаграмм)

Для того чтобы построить наглядное представление о характере движения какой-либо точки механизма, строят кинематические диаграммы перемещений, скоростей и ускорений этой точки. Кинематические диаграммы представляют собой графические зависимости перемещений S = f(t), скорости V = f¢(t) и ускорений a=f¢¢(t) исследуемой точки от времени поворота ведущего звена или S = f(j1), V = f¢(j1) и a = f¢¢(j1) от угла поворота j1 ведущего звена. Их построение производится после построения совмещенного плана положений механизма.

Рассмотрим это на примере.

П р и м е р 3. Для механизма (рис. 2.2) построить график перемещения точки B и, дифференцируя его методом хорд, график скоростей этой точки, а дифференцируя график скоростей, построить график ускорений. Частота вращения кривошипа О1А – n1=150 об/мин

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru

Р е ш е н и е. В прямоугольной системе координат X и Y откладываем по оси ординат перемещения точки B, по оси абсцисс – время одного цикла движения механизма отрезком 0 – 0. При длительности цикла, с,

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru

и длине отрезка 0 – 0, равной 120 мм, масштаб времени по оси абсцисс, с×мм-1,

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru .

Разбив отрезок 0 – 0 на 12 равных частей, из точек деления восстанавливаем перпендикуляры к оси абсцисс.

На оси ординат откладываем отрезки перемещений SB точки В в масштабе kS = kl = 0,008 м/мм, т.е. измеряем перемещения точки В на совмещенном плане положений механизма и переносим их на ось ординат без изменения (перемещения можно увеличить или уменьшить, чтобы получить желаемую высоту (ординату) диаграммы). Из точек разметки оси ординат 1, 2, 3, 11 проведем прямые, параллельные оси абсцисс, до пересечения с соответствующими перпендикулярами. Соединив точки пересечения плавной линией, получим диаграмму перемещений точки В механизма.

Графически дифференцируя диаграмму перемещений, строим диаграмму скоростей точки В. Для этого проводим хорды кривой на соответствующих участках разметки (0 – 1; 1 – 2; 2 – 3 и т. д.) и обозначим их a, b, c, ... c¢, b¢, a¢. В системе координат ХОY продолжаем ось абсцисс влево и на произвольно выбранном расстоянии Н1 обозначаем полюс PV. В примере Н1 = 30 мм. Из полюса PV проводим лучи, параллельные этим хордам до пересечения с осью
ординат y.

Из точек пересечения лучей a, b, c, ... c¢, b¢, a¢ с осью y проводим прямые, параллельные оси абсцисс, до середины между вертикалями. Соединив точки плавной кривой, получаем диаграмму скоростей точки В механизма.

Графически дифференцируя диаграмму скоростей, получаем диаграмму ускорений точки В. Полюсное расстояние Н2 принимаем равным 20 мм.

Масштабы кинематических диаграмм:

угла поворота – Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru рад/мм;

времени – Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru с/мм;

перемещений – Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru м/мм;

скоростей – Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru м/с × мм-1;

ускорений – Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru м/с2 × мм-1.

По построенным диаграммам можно наглядно проследить за характером изменений кинематических параметров за полный цикл работы механизма и получить значения перемещений, скоростей и ускорений точи В через любой промежуток времени.

Определение скоростей точек механизма методом планов скоростей

Зная закон движения ведущего звена и длину каждого звена механизма, можно определить скорости его точек по значению и направлению в любом положении механизма путем построения плана скоростей для этого положения. Значения скоростей отдельных точек механизма необходимы при определении производительности и мощности машины, потерь на трение, кинематической энергии механизма; при расчете на прочность и решении других динамических задач.

Построение планов скоростей и чтение их упрощаются при использовании свойств этих планов:

1) векторы, проходящие через полюс pV выражают абсолютные скорости точек механизма. Они всегда направлены от полюса. В конце каждого вектора принято ставить малую букву a, b, c, . . . s или другую, которой обозначена точка или шарнир механизма A, B, C, . . . S (рис. 2.3, а). Точки плана скоростей, соответствующие неподвижным точкам механизма, находятся в полюсе РV1, О2);

2) векторы, соединяющие концы векторов абсолютных скоростей, не проходящие через полюс, изображают относительные скорости. Направлены они всегда к той букве, которая стоит первой в обозначении скорости. Например, скорость VBА направлена от точки а к точке b, скорости VDO2 и VDC – соответственно от O2 к точке d и от точки с к точке d (рис. 2.3, б);

3) каждое подвижное звено механизма изображается на плане скоростей соответствующим одноименным, подобным и сходственно расположенным контуром, повернутым относительно схемы механизма на 90° в сторону мгновенного вращения данного звена. Это свойство плана называется свойством подобия и позволяет легко находить скорость точек механизма.

П р и м е р 3. Определить абсолютные и относительные скорости точек звеньев и угловые скорости звеньев механизма (см. рис.2.3, а) методом планов скоростей для положения, указанного в примере 2 (j1 = 135°). Частота вращения кривошипа n1 = 150 об/мин, w1 = 15,7 с-1. Центы тяжести всех звеньев условно расположены в их центрах (S1 . . . S5).

Р е ш е н и е. Находим скорость точки А кривошипа О1А по формуле, м/с:

vA = w1lO1A; vA = 15,7 × 0,200 = 3,120. (2.2)

Вектор Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru направлен перпендикулярно к оси звена О1А в сторону его вращения. Задаемся длиной отрезка РVа (произвольно), который на плане будет изображать скорость Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru точки А; Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru . Тогда масштаб плана скоростей, м/с × мм-1,

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru . (2.3)

Из произвольной точки pV, в которой помещены и точки опор О1, О2, откладываем перпендикулярно к звену О1А отрезок РVа = 94,2 мм (см. рис. 2.3, б).


Рис. 2.3
Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru


Для дальнейшего построения плана скоростей и определения скорости точки В составляем уравнение:

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru ; (2.4)

где Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru - скорость точки А, известна по величине и направлению;

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru – относительна скорость точки В во вращении вокруг точки А.

Относительная скорость Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru известна по линии действия: перпендикулярна к звену АВ, проводится на плане из точки а (конец вектора Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru ). Скорость точки В относительно стойки направлена по линии хода ползуна, проводится на плане из полюса РV параллельно ходу ползуна до пересечения с вектором относительной скорости Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru . Точка пересечения будет точкой b, определяющей конец вектора скорости Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru :

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru м/с. (2.5)

Вектор ab изображает скорость Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru точки В в относительном вращении вокруг точки А:

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru м/с. (2.6)

Положение точки С находим на плане скоростей по свойству подобия (из пропорции):

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru . (2.7)

Подставив значения длины звеньев на схеме и длины соответствующих отрезков на плане, определяем место точки С на плане скоростей. Соединив ее с полюсом, определяем значение скорости точки С, м/с:

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru . (2.8)

Для определения скорости точки D воспользуемся векторными равенствами:

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru (2.9)

где Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru – скорость точки С, известна по значению и направлению;

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru – относительная скорость точки D во вращении вокруг точки С;

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru – скорость точки О2 (равна нулю);

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru – относительная скорость точки D во вращении вокруг точки О2.

Относительные скорости Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru и Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru известны по линии их действия: Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru перпендикулярна к звену DC, проводится на плане из точки С (конец вектора Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru ); Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru перпендикулярна к звену DO2, проводится на плане из точки О2 (в полюсе pV). На пересечении этих двух линий действия получаем точку D. Конец вектора скорости точки D

vD = pVd kV; vD = 58×0,033 = 1,914 м/с. (2.10)

Направление скорости Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru определяется направлением вектора pVd.

Вектор dc изображает скорость vDC точки D в относительном вращении вокруг точки С:

vDC = dc kV; vDC = 57×0,033 = 1,881 м/с. (2.11)

Вектор dO2 (pVd) изображает скорость точки D в относительном вращении вокруг точки О2:

vDO2 = vD = pVd kV; vDO2 = 58×0,033 = 1,914 м/с. (2.12)

Исходя из теоремы подобия (третье свойство плана скоростей), находим на плане точки S1 – S5, соответствующие центрам тяжести звеньев. Соединив их с полюсом рV, определяем скорости центров тяжести звеньев механизма, м/с:

vS1 = pVS1 kV; vS1 = 47,1×0,033 = 1,554;

vS2 = pVS2 kV; vS2 = 73×0,033 = 2,409;

vS3 = vD = pVd kV; vS3 = 75×0,033 = 2,475; (2.13)

vS4 = pVS4 kV; vS4 = 63×0,033 = 2,079;

vS5 = pVS5 kV; vS5 = 29×0,033 = 0,957.

Пользуясь планом скоростей, определяем угловые скорости звеньев
2, 4, 5, с-1:

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru ;

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru ;

Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru .

Угловая скорость ползуна w3 = 0, так как он движется поступательно по неподвижной направляющей.

Для выяснения направления угловой скорости звена АВ вектор скорости Кинематическое исследование механизмов методом графиков - student2.ru , направленной к точке b плана, мысленно переносим в точку В звена 2 и определяем, что он стремится повернуть это звено вокруг точки А против часовой стрелки. По аналогии определяем направления угловых скоростей звеньев w4 (против часовой стрелки) и w5 (против часовой стрелки).

Наши рекомендации