Сложные проценты. Наращение суммы долга при применении сложной процентной ставки.

Простые переменные ставки. Время финансовых операций может быть разбито на к – периодов, где i1,i2,…,ik – простая % ставка в к-том периоде, n1,n2,…,nk - продолжительность периода. Тогда наращенная сумма определяется по формуле: S=P*(1+n1*i1+n2*i2+…+nk*ik), где (1+n1*i1+n2*i2+…+nk*ik) – множитель наращивания.

Сложная % ставка наращивания – это ставка, при которой базой начисления является переменная (т.е. % начисляется на %).

Вывод формулы: S1=P+P*i=P*(1+i), S1 будет являться базой для второго года, следовательно S2=(1+i1)* S1= (1+i)* P(1+i)= P(1+i)^2

Sn=P(1+i)^n – формула наращенной суммы по сложным % за n лет.

S=P(1+i1)^ n1 *(1+i2)^n2*…*(1+iк)^(nк) – формула наращенных % при изменении ставки во времени.

Номинальная и эффективная ставки процентов.

Нередко в финансовых операциях в качестве периода наращивания % используется не год, а месяц, квартал или другой период. В этом случае говорят, что % начисляют m раз в году. Сложная % ставка наращивания является частным случаем номинальной % ставки при начислении % один раз в году. Если номинальную ставку обозначить через j, то % за первый период начисляются по ставке j/m, а количество начислений m*n.

Наращенная сумма определяется по формуле: S=(1+j/m)^(m*n) * P

Эффективная % ставка (iэ) – это % ставка, которая дает такую же % ставку, что и номинальная с начислением % m раз в году. iэ = ((1+j/m)^m )- 1 – показатель доходности

Нахождение номинальной % ставки j=m* (1+iэ)^(1/m) -1

Дисконтирование и учет по простым ставкам.

При дисконтировании по известной наращенной сумме процентной ставки и сроков ссуды, определяется современная стоимость этой наращенной суммы. Другими словами, при дисконтировании суммы S, которое будет выдано через срок и на остатках дисконта вычисляется современная величина стоимости P в сумме S.

i– процентная ставка дисконтированная

S = (1+i*n)*P-наращенная сумма по простым процентам, где P=S/(1+i*n)

Сложный процент:

S=(1+i)^n*P => P=S/(1+i)^n

S=(1+j/m)^(m*n)*P => P=S/(1+j/m)^(m*n)

Множители:

1/(1+i*n); 1/(1+i)^n; 1/(1+j/m)^(m*n) –дисконт множителей.

D=S-P – дисконт суммы S.

Пример.

Через 159 дней должник уплатит 8500 руб. Кредит выдан под простой процент 19% годовых. Какова первоначальная сумма долга и дисконт, при условии, что временная база 360 дней.

Решение:

P=S/(1+ni)=8500/(1+159/360)=7841,93

I=0,19; ni=159/360

D=8500-7841,93=658,07 (дисконт).

Учет (дисконтирование) по сложной ставке.

При использовании сложной процентной ставки, каждый раз эта ставка применяется не к первоначальной сумме, как простая учетная ставка, а к сумме дисконтирования на предыдущем шаге.

Поэтому сумма выданная банком по векселю вычисляется по формуле:

P=S*(1-d)^n

P=S*(1-d/m)^(m*n), где d-сложная учетная ставка.

Пример.

Вексель на сумму 20000 руб. Учтем 1,8 года, учитывается по сложной процентной ставке 18% годовых и дисконт при ежегодном и ежемесячным дисконтировании.

Решение:

S=20000

n=1,8

1) Ежегодно:

P=S*(1-d)^n=20000*(1-0,18)^1,8=13990,49

2) Ежемесячно:

m=12

P=S*(1-d/m)^(m*n)=20000*(1-0,18/12)^12*1,8=14429,57.

7. Потоки платежей, основные понятия. Финансовые ренты и их классификация.

Типы потоков платежей:

Потоки платежей - это платежи последовательны во времени (например, выплаты пенсий, кредита и т.д.). Регулирование потоком платежей (финансовой рентой) аннуитетом, называются платежи, у которых все выплаты направляются в одно направление, а интервалы между платежами одинаковы.

Нерегулируемым потоком называются платежи, у которых часть выплат является положительной, а другая часть отрицательная - выплаты сторонним организациям. Интервалы в этом случае могут быть неравными друг другу.

Наращенная сумма потоков платежей – это сумма всех выплат с начислением в конце срока процентов.

Современная стоимость потока платежей – это сумма выплат дисконта на начало срока по сложной процентной ставке.

Rl-платеж в момент времени tl.

i – сложная процентная ставка, начисляется 1 раз в году.

k – количество платежей.

S1=R1 (S1 наращенная от R1)

S1=R1*(1+i)^(tk-t1)

S2=R2*(1+i)^(tk-t2)

Sk=Rk k

S=S1+S2+…+Sk=R1*(1+i)^(tk-t1)+R2*(1+i)^(tk-t2)+Rk=∑ Rl*(1+i)^(tk-tk)

l=1

A – современная стоимость потоков платежей.

Пусть А1 – современная стоимость платежа R1

P=S/(1+i)^n

A1=R1*1/(1+i)^t1

A2=R2/(1+i)^t2

Ak=Rk/(1+i)^tk

k

A=A1+A2+…+Ak=R1/(1+i)^t1+R2/(1+i)^t2+…+Rk/(1+i)^tk => A=∑Rk/(1+i)^tk

L=1

Финансовая рента (аннуитет) – это поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны.

Финансовая рента имеет следующие параметры:

· член ренты - величина каждого отдельного платежа;

· период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами;

· срок ренты – время, измеренное от начала ренты до конца ее последнего периода;

· процентная ставка – используется при наращивании или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Виды финансовых рент:

1. по количеству платежей в течение года (годовые – один раз в году); p – срочные (p платежей в году), непрерывные;

2. по количеству начисления процентов: 1 раз в году; m– раз в году; непрерывно.

Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

3. по величине элементов (платежей) рента: постоянные (с равными платежами) и переменные (с неравными платежами).

4. по вероятности выплат: верные (с заранее определенными платежами); уставные(значительная часть платежей, которые не определены).

5. по количеству элементов: заданные (ограниченные) и бесконечные (вечные).

6. по соотношению начального срока ренты и начала действия ренты и начало действия контракта: немедленные, отсроченные и отложенные.

7. по моменту выплат платежей: постнумерандо (платеж в конце периода) и пренумерандо (платеж в начале периода).