Тема 2 Наращивание по сложной схеме. Сложные проценты

Рассмотрим ситуацию:

В банк ложится вклад под r % годовых.

В первый год:

Во 2-й год:

В 3-й год:

Основная формула начисления по сложной форме

где n- количество лет

Пример 1: Рассчитать наращенную сумму по сложной и простой схемам, если начальная сумма 100000 грн. количество лет – 3 года под 20% годовых.

Решение

Дано:

PV=100000 грн.

n=3 года

r=20%

FV-?

По простой схеме:

По сложной схеме:

Вывод: при n>1 нарощенная сумма (FV) по сложной схеме начисления больше чем по простой.

Пример 2: Рассчитать наращенную сумму по простой и сложной схемам, если начальная сумма вклада 100000грн ложится на 6 месяцев под 20 % годовых.

Решение

Дано:

PV=100000 грн.

r=20%

n=0,5 года

FV-?

По простой схеме:

По сложной схеме:

Вывод: При n<1 нарощенная сумма (FV) по сложной схеме начисления меньше чем FV по простой схеме.

Считаем, что вклад сделан на условиях сложных процентов, если следующий годовой доход І рассчитывается не на начальную сумму PV, а на общую суму, которая включает также насчитанные раньше проценты.

Процедуры присоединения начисленных процентов к базе расчёта начисленных процентов называется капитализация (начисление процентов на проценты)

При использовании сложной схемы начисления база для расчёта дохода І всё время увеличивается.

Особенности использования сложных схем:

1. На практике очень часто изменяются проценты ставки, тогда определение наращенной суммы при изменяющейся ставки процента имеет вид:

где , , …. - процентные ставки действующие в определённых периодах.

- длительность определённых периодов.

Пример 3 Предприятие разместило в банк 250000 грн на таких условиях: =14% - действует на протяжении 2-х лет, =16% - на 2 года, =18% - на 3 года. Определить нарощенную сумму через 7 лет

Решение

Дано:

=14%

=16%

=18 %

=1 год

=2 года

= 3 года

­­­­FV-?

В финансовых расчётах базовый период (промежуток времени) 1 год, но на практике капитализация процентов проводиться несколько раз в год. Тогда говорят про m-кратные начисления.

В таком случае FV определяется по формуле:

Где m-количество интервалов в 1 году

Пример 4 Проанализировать изменения размеров наращенной суммы на конец двухгодового периода. Если процент насчитывается:

1) ежегодно

2) по полугодиям

3) по кварталам

4) по месяцам

Решение

1) =

2)

3)

4)

Вывод: Чем чаще насчитывается процент (меньше интервал начисления) при одних и тех же начальных условиях, тем больше наращенная сума

В этом случае говорят, что начальная ставка при m=1 называется номинальной.

Наращивание по сложной схеме если общее число периодов или интервалов не является целым числом. В таком случае используется 2 схемы наращивания:

1) Обычная сложная схема

Где, na – целое число лет

f – дробная часть

2) Смешанная схема начисления

Где na – целое число лет

f – дробная часть

Пример 5 Фирма получила кредит в размере 250000 грн с термином погашения через 2 года 9 месяцев. Определить сумму погашения и прибыль банка, если процентная ставка 20 %.

Решение

Дано

PV=250000 грн

n=2 года

f= 9/12=0,75

FV-?

1-й способ:

2-й способ: