Признак коши (радикальный признак коши)
Числовые ряды.
Числовым рядом называется выражение вида u1+u2+…+un+…=∑(n=1,∞)un, где un – действительные числа, общий член ряда. Составим суммы u1, u1+u2, u1+u2+u3 и обозначаются эти суммы как s1, s2, s3, sn=u1+u2+…+un. Эти величины называются частичными суммами. Рассмотрим величину s=lim(n→∞)sn конечное или ∞ предел величины sn называется суммой ряда. То есть можно записать sn=u1+u2+…+un+…=∑(n=1,∞)un. Если сумма конечная ряд называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен то ряд называется расходящимся. Геометрическая прогрессия a+aq+aq2+… a≠0 конечная сумма sn=a(1-qn)/1-q q≠1 lim(n→∞)sn=lim(n→∞)a(1-qn)/(1-q)=lim(n→∞)a/(1-q)-lim(n→∞)aqn/(1-q). 1) |q|<1 lim(n→∞)sn=a/(1-q) ряд сходится. 2) |q|>1 qn→∞ ряд не сходится.3) |q|=1 a) q=1 sn=na lim(n→∞)sn=∞. b) q=-1 если n-четное sn=0, n-нечетное sn=a. Вывод |q|<1 – ряд сходится, |q|≥1 – ряд расходится.
Свойства сходящихся рядов.
Необходимое условие сходимости ряда.
1) Если ряд сходится то последовательность его членов стремится к нулю. Док-во: ∑(n=1,∞)un – сходится. По определению следует, что существует конечный lim(n→∞)sn=s un член может представить un=sn-sn-1, n=2,3,… Рассмотрим lim(n→∞)sn- lim(n→∞)sn-1 тогда lim(n→∞)sn=s и lim(n→∞)sn-1=s следует s-s=0 а отсюда lim(n→∞)sn=0.
2) Если ряды ∑(n=1,∞)un и ∑(n=1,∞)vn сходятся то для любых постоянных λ и μ ряд ∑(n=1,∞)(λun+μvn) также сходятся и сумма этого ряда ∑(n=1,∞)(λun+μvn) = ∑(n=1,∞)un+∑(n=1,∞)vn. Док-во: Обозначим sn=∑(k=1,∞)uk σn=∑(k=1,∞)vk то есть существует lim(n→∞)sn=∑(k=1,∞)uk и lim(n→∞)σn=∑(k=1,∞)vk и они конечны lim(n→∞)An=∑(k=1,n)(λun+μvn)=λlim(n→∞)∑(k=1,n)uk+μlim(n→∞)∑(k=1,n)vk=λ∑(n=1,∞)un+μ∑(n=1,∞)vn. Рассмотрим ряд
Теорема: Критерий Коши сходимости ряда.
Для того чтобы ряд ∑(n=1,∞)un сходился необходимо и достаточно чтобы для любых ε>0 сущестовал n0 что для любых n>n0 и для любых целых p≥0 имело место неравенство |un+un+1+un+2+…+un+p|<ε. Док-во: Это утверждение сразу следует из критерия Коши существования предела последовательности примененного к последовательности частичных сумм {sn} данного ряда |sn+p-sn-1|<ε.
Сходимость положительных рядов.
Пусть члены ряда неотрицательны то есть un≥0. Ряды с неотрицательными членами будем называть положительными рядами. Для такого ряда последовательность частичных сумм является возрастающей. Вспомним теорему о пределе монотонной последовательности приходим к выводу: положительный ряд всегда имеет сумму, эта сумма будет конечной, а ряд будет сходящимся, если частичная сумма ограничены сверху и наоборот: сумма является бесконечной, а ряд расходящимся, если частичные суммы ограничены сверху.
Теорема сравнения рядов
Теорема 1.
Пусть даны 2 ряда с неотрицательными членами ∑(n=1,∞)un и ∑(n=1,∞)vn. Если хотя бы начиная с некоторого места n>N выполняется неравенство un≤vn то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда. Док-во: На основании того, что отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на его поведении,
Теорема сравнения рядов
Теорема 2.
Пусть даны 2 ряда с неотрицательными членами ∑(n=1,∞)un и ∑(n=1,∞)vn. Если существует lim(n→∞)un/vn=k где 0≤k≤+∞ то из сходимости второго ряда при k<+∞ вытекает сходимость первого ряда. А из расходимости первого ряда при k>0 вытекает расходимость второго ряда. Док-во: Пусть второй ряд сходится и k<∞. Возьмем произвольный ε>0. По определению предела при достаточно больших n будем
иметь |un/vn-k|<ε, un/vn<ε+k следует un<vn(k+ε). По условию теоремы второй ряд сходится тогда и сходится ряд (k+ε)∑(n=1,∞)vn следует сходится и первый ряд.
Пусть первый ряд расходится. В этом случае обратное отношение vn/un имеет конечный предел второго ряда, в таком случае должен быть расходящимся так как если бы он сходился то по доказанному сходился бы и первый ряд.
можем считать не нарушается общность, что un≤vn n=1,2,…. Обозначим частичные суммы первого и второго рядов соответственно Sn(n), Sn(v) тогда Sn(n)≤Sn(v). Пусть второй ряд сходится, тогда из условия сходимости последовательность частичных сумм ограниченно сверху то есть Sn(v)≤L следует Sn(n)≤L первый ряд также сходится L = const. Пусть первый ряд расходится то второй ряд расходится. Предположим, что второй ряд сходится тогда по доказанному первый ряд сходится, что противоречит.
∑(n=1,∞)un, ряд вида ∑(k=1,∞)un+k называется n-ым остатком ∑(k=1,∞)un+k=un+1+un+2+… Если n-ый остаток ряда сходится то его сумму будем обозначать rn то есть rn=∑(k=1,∞)un+k.
3) Если ряд сходится то и любой его остаток сходится. Если какой-то остаток ряда сходится то сам ряд также сходится, причем если s=∑(n=1,∞)un s=∑(k=1,∞)uk, а rn=∑(k=1,∞)un+k то s=sn+rn (отбрасывание или присоединение нескольких начальных членов ряда не отражается на сходимость) Док-во: Обозначим sn=∑(k=1,∞)uk частичная сумма sm+n=sn+s(n)m следует при произвольном фиксированном n lim(m→∞)sm+n lim(m→∞)s(n)m одновременно существует или не существует. Существование lim(m→∞)sm+n означает сходимость всего ряда. Существование lim(m→∞)s(n)m означает сходимость остатка этого ряда если оба рассмотренных предела существуют, то перейдя к lim(m→∞)sm+n= то получится s=sn+rn. Замечание: Если ряд ∑(n=1,∞)un сходится то его остатки стремятся к 0 так как lim(n→∞)rn=lim(n→∞)(s-sn)=0.
Теорема сравнения рядов
Теорема 3.
Если хотя бы начиная с некоторого места n<N выполнено неравенство un+1/un≤vn+1/vn то из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого ряда или что тоже самое из расходимости первого ряда вытекает расходимость второго ряда. Док-во: Не нарушая общности можно считать, что неравенство un+1/un≤vn+1/vn выполняется для любых значений n. В таком случае можно записать u2/u1≤v2/v1, u3/u2≤v3/v2,…, un/un-1≤vn/vn-1. Перемножив почленно эти неравенства, получим un/u1≤v3/v1, и т.д. un/u≤vn/v1 un≤u1/v1*vn
Σ(n=1 ∞) Vn – сх-ся (U1/V1)Σ(n=1 ∞) Vn – сх-ся По т-ме 1 сравнения Σ(n=1 ∞) Un – тоже сх-ся.
Признак Даламбера.
Пусть для ряда Σ(n=1 ∞) Un , Un >0, n=1,2,3.. существует lim(n→∞)( Un)/ (Un-1 ) = L, тогда если L>0, то ряд расходится, если L<0, то сходится.
▲Пусть L<0. Выберем число L<q<1. Рассмотрим условие сущ-ия lim(n→∞)( Un)/ (Un-1 ) = L. По опр lim существует n0 >0, что для любого n> n0 справдливо условие ( Un)/ (Un-1 ) < q => Un < q Un-1
Применим это нер-во послед-но для n= n0 +1, n0 +2, … Получим Un0+1 < q Un0 Un0+k < qk Un0 . Рассмотрим ряд Σ(k=1 ∞) qk Un0 . Ряд сх-ся при 0<q<1. Пользуясь т-ой сравнения приходим к выводу, что сх-ся Σ(k=1 ∞)Un0+k => Σ(n=1 ∞)Un cx-ся
Пусть L<0. Тогда в силу того же условия, что lim(n→∞)( Un)/ (Un-1 ) = L существует n0 >0, что для любого n> n0 справдливо условие ( Un)/ (Un-1 ) > 1 => Un > Un-1. Возьмём n= n0 +1, n0+2… Получим: Un0+2 > Un0+1 > Un0 > 0. Это означает, что последовательность члена ряда не стремится к 0, откуда => его расходимость. ▲
Признак Коши (радикальный признак Коши)
Пусть для ряда Σ(n=1 ∞) Un Un ≥0 существует lim (n→∞)sqrtn (Un) = L. Тогда если L<1, то ряд сх-ся, если L>1, то ряд расх-ся.
▲Пусть L<1 Выберем q: L<q<1. Тогда т.к lim (n→∞)sqrtn (Un) = L, то сущ-ет n0 : для люб n>n0 вып нер-во sqrtn (Un) <q => Un < qn т.к ряд Σ(n=1 ∞) qn х-ся => cх-ся ряд Σ(k=1 ∞)Un0+k => сходимость
ряда Σ(k=1 ∞)Uk .
Пусть L> 1. Рассмотрим lim(n→∞) sqrtn(Un) = L. По опр-ию lim => сущ-ет n0: любое n > n0. Справедливо условие sqrtn(Un) > 1 => Un > 1 последовательность членов ряда не стрем-ся к 0 => ряд расх-ся, т.к начиная с некот n > n0 Un > 1 Не вып-ся признак сходимости. ▲
Интегральный признак Коши.Если члены некот полож ряда Σ(n=1 ∞) Un могут быть представлены как числовые зн-ия некот. непр-оймонотонно-убывающей на пр-ке [1, +∞) ф-ии f(x) так что U1 = f(1) … Un =f(n), тогда: 1)если ∫ (1..+∞)f(x)dx cх-ся, то Σ(n=1 ∞) Un сх-ся 2)если тот ин-л расх-ся, то и ряд расх-ся.
▲Рассмотрим какую-либо первообразную функцию F(x) для f(x), Т.к F’(x) = f(x)>0 => F(x) – возрастает вместе с x и при x→∞ имеет lim, конечный или нет
1) если конечный, то Σ(n=1 ∞) (F(n+1) – F(n)) сходится (*)