Радикальный признак коши сходимости числового ряда

Теорема 8.5. Если для знакоположительного ряда существует предел , то: 1) если r < 1, то ряд сходится; 2) если r > 1, то ряд расходится; 3) если r = 1, то данный признак не позволяет решить вопрос о сходимости ряда (ряд может как сходиться, так и расходиться).

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть . Если r < 1, то всегда найдется число q, удовлетворяющее неравенству r < q < 1. Тогда по определению предела существует такое число N, что если n > N, то . Возведем это неравенство в n-ю степень, имеем . При геометрическая прогрессия сходится. По теореме 8.2 (первый признак сравнения) ряд сходится.

2. Пусть . Если r > 1, то всегда найдется число q, удовлетворяющее неравенству 1 < q < r. Тогда существует такое число N, что если n > N, то . Возведем это неравенство в n-ю степень, имеем . При геометрическая прогрессия расходится. По теореме 8.2 (первый признак сравнения) ряд расходится.

Пример 8. 12. Исследовать сходимость ряда .

Находим . Ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Теорема 8.6. Если члены знакоположительного ряда , являющиеся значениями функции целочисленного аргумента , монотонно убывают и стремятся к нулю , то: 1) если сходится, то и ряд сходится; 2) если расходится, то и ряд расходится.

Д о к о з а т е л ь с т в о. В прямоугольной декартовой системе координат непрерывная кривая проходит через точки и ограничивает сверху криволинейную трапецию ABCD (рис. 86). Площадь этой криволинейной трапеции равняется .

Построим две ступенчатые фигуры с угловыми точками . Эти ступенчатые фигуры состоят из прямоугольников, основания которых равняются единице, а высоты значениям .

Рис. 86

Найдем площади этих фигур.

,

,

где - n-я частичная сумма ряда.

Площади этих ступенчатых фигур ограничивают площадь криволинейной трапеции ABCD снизу и сверху

Û .

Рассмотрим левую часть этого неравенства

Û .

При неограниченном возрастании числа n членов ряда частичные суммы ряда монотонно возрастают, так как ряд знакоположительный. При этом интеграл также возрастает и ограничен величиной интеграла . Поэтому , т. е. последовательность частичных сумм ограничена. По теореме Вейерштрасса существует предел . Следовательно, ряд сходится.

Рассмотрим правую часть неравенства

Û .

По условию теоремы .

Если неограниченно возрастает, то и предел частичных сумм неограниченно возрастает и, следовательно, ряд расходится.

Таким образом, интегральный признак Коши в принципе позволяет для любого ряда решить вопрос о его сходимости. Трудность в его применении заключается в нахождении несобственных интегралов. Возможности в их нахождении ограниченные.

Пример 8.13. Исследовать гармонического сходимость ряда .

Находим . Ряд расходится.

Пример 8.14. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда .

Находим

Следовательно, при ряд сходится, а при ряд расходится.

Пример 8.15. Исследовать сходимость ряда .

Члены ряда нумеруются с (при ). Поэтому при применении интегрального признака Коши нижний предел интегрирования равен 2, а не 1. Находим

.

Здесь при нахождении предела применили правило Лопиталя. Интеграл сходится, следовательно, и ряд сходится.

Пример 8.16. Исследовать сходимость ряда .

Находим

.

Ряд сходится.