Признак коши (радикальный)

Пусть дан ряд с неотрицательными членами: , .

Тогда если , то ряд сходится,

если , то ряд расходится.

Если же , то признак Коши не является информативным для данного случая, необходимо применить другой признак.

Пример 17.

.

Применим признак Коши: ряд сходится.

Пример 18.

В зависимости от чётности n при последовательность

будет иметь два частичных предела. Поэтому: ,

ряд сходится.

Пример 19.

.

Для начала применим признак Даламбера.

Как видно, этот признак не работает. В таких случаях следует применять

Признак Гаусса.

Если и существует такое число ε>0, такое что

то ряд сходится, если μ<-1 , и расходится, если μ≥-1.

Продолжим рассмотрение примера 18.Применим признак Гаусса:

Как видно, μ=-1/2>-1 - следовательно, ряд расходится.

Для закрепления приведем ещё примеры:

Пример 20.

.Преобразуем общий член ряда с помощью формул Тейлора, чтобы применить признак сравнения. Также нам понадобится формула .

Получили для сравнения ряд Дирихле , который сходится при q>1 и расходится при q≤1.

Пример 21.

.

Применим признак Даламбера:

.

Признак Даламбера не информативен – применим признак Гаусса:

Таким образом, μ=1/2-p, то есть, данный ряд сходится при р>3/2 и расходится при p≤3/2.

При решении данного примера были использованы стандартные разложения Тейлора в степенной ряд для функций ln(1+x) и ,а также известная из школьного курса формула

была применена для преобразования вида

.(В нашем случае ).

Пример 22.

Признак Даламбера не даёт информации о сходимости ряда:

Применим признак Гаусса:

Следовательно, ряд сходится ,если и расходится, если .

Ряды с членами произвольного знака.

Знакопеременным называется ряд, членами которого являются действительные числа произвольного знака.

Определение. Знакопеременный ряд ( а также ряд с комплексными членами ) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

Для исследования рядов на абсолютную сходимость, очевидно, надо пользоваться признаками сходимости рядов с положительными членами.

Определение. Знакопеременный ряд (а также ряд с комплексными членами ) называется условно сходящимся, если он сходится, но не сходится абсолютно.

Перечислим основные теоремы для знакопеременных рядов:

Теорема 1.Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

Теорема 2.Если - абсолютно сходящийся ряд с суммой s, а сумма ряда равна S, то |s|≤S.

Теорема 3.Если в абсолютно сходящемся ряде произвольным образом переставить члены, то полученный ряд также будет сходиться, а сумма его будет равна сумме исходного ряда.

Признаки сходимости знакопеременных рядов.

Признак Абеля.

Пусть дан ряд . Если последовательность монотонна и ограничена, а ряд сходится, то ряд сходится.

Признак Дирихле.

Пусть дан ряд . Если последовательность , ограничена, а последовательность монотонно стремится к нулю, то ряд сходится.

Определение.Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют различные знаки, то есть ряд вида .