Теорема 2. О непрерывности композиции функций

Определение 2

Окрестность называют проколотой, если из исключена сама точка , и обозначается (или ).

Определение 3

Говорят, что функция имеет в точке предел, равный , если для любой последовательности точек , сходящейся к точке , последовательность значений сходится к числу и обозначается .

Замечание 1

Функция может быть не определена в самой точке .

Замечание 2

Так как предел функции есть более сложноорганизованный предел последовательно-сти, то имеют место все теоремы о пределах последовательностей.

Пример 1

Вычислим .

Выберем любую последовательность : . Тогда .

Пример 2

Вычислим .

Выберем любую последовательность такую, что . Тогда возникает неопределенность . Воспользуемся тем, что для любого . Тогда .

Пример 3

Рассмотрим функцию Дирихле , ( - множество рациональных чисел).

Если взять последовательность , где , то ; если же такова, что , то . Значит, функция Дирихле не имеет предел ни в одной точке действительной оси, так значение предела зависит от выбора последовательности .

Теорема 1. Критерий Коши существования предела.

Для любого , найдется , зависящее от , такое что ,следовательно , что равносильно:

(1)

Доказательство:

Необходимость.Пусть соотношение (1) выполняется. Покажем, что для любой последовательности , последовательность стремится к при . Выберем какое-нибудь . По найдем из неравенства , т.е. определим окрестность . Зная , можно найти номер , начиная с которого попадает в ( - коридор точки ). Тогда в силу соотношения (1) имеем . Это означает, что выполняется соотношение (**) для последовательности , т.е. .

Достаточность.Пусть существует . Покажем, что выполняется соотношение (1). Воспользуемся методом от противного.

Пусть соотношение (1) не выполняется, т.е. .

Так как , то выполняется соотношение (**), т.е. найдется номер , начиная с которого . Так как любое, то выберем в качестве . Тогда . По теореме о «двух милиционерах» при . Но тогда в силу определения 2 последовательность , т.е. (имеет место соотношение (**)). Получили противоречие.

Определение 4.

Определение по Коши

Говорят, что функция имеет в точке предел, равный , если , т.е. выполняется соотношение (1).

Замечание 3

Сформулируем определение предела функ-ции в точке на языке окрестностей:

( - окрестность точки );

или

.

Пример 4

Докажем, что .

Так как , то для любого выберем . При этом для всех таких, что получим . Таким образом, , т.е. .

Пример 5

Докажем, что не существует предела функции

в точке .

Рассмотрим последовательности и . При , но . Значит, .

Определение 5

Число называется пределом функции в точке слева, если . При этом число называют левым пределом функции в точке .

Аналогично вводится понятие правого предела функции в точке .

Теорема 2

Для того, чтобы существовал предел , необходимо и достаточно, чтобы в точке существовали односторонние пределы , причем .

Доказательство:

Необходимость.Пусть существует , т.е. . Выберем последовательность такой, что . Тогда получаем существование , причем .

Для доказательства существования достаточно выбрать любую последовательность , такую, что .

Достаточность.Пусть существует , т.е. , .

Выберем . Тогда для любого . +

п. 2 Замечательные пределы

1. Первый замечательный предел .

Доказательство:

рис .6.3

Рассмотрим единичную окружность. Пусть . Тогда . Из рисунка видно, что ,

, . Тогда .

Так как , то . В силу того, что , получим . Это неравенство имеет место и для , т.к. функции и четные. Легко показать, что . +

Следствия

1.

2.

3.

4. ( )

5.

Доказательство (5):

.

2. Второй замечательный предел .

Доказательство:

Пусть . Положим . Тогда или . Имеет место неравенство . Так как , то . Из неравенства в силу того, что и имеем .

Теперь пусть . Положим . Теперь . Тогда . +

Следствия

1. .

2. .

3, в частности, .

4. , в частности .

Доказательство (4):

. +

5.

Доказательство (5):

. +

п. 3 Непрерывность функции в точке

Определение 1Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется соотношение .

Определение 2

Функция непрерывна в точке , если .

Определение 2*

Функция непрерывна в точке , если .

Определение 3

Функция называется бесконечно малойв точке , если .

Определение 4

Функция называется непрерывнойв точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. , где .

Свойства непрерывных функций в точке

Теорема 1

Пусть функции непрерывны в точке . Тогда непрерывны в точке .

Доказательство:

Докажем непрерывность произведения в точке . Так как функции и непрерывны в точке , то можно представить , где - БМФ в точке . Тогда . Перейдем к пределу при . Получим .

Определение 5

Пусть функция определена в некото-

рой окрестности точки , а определена в некоторой окрестности точки . Тогда функция называется композицией функции или сложной функцией, а операция образования называется операцией композиции.

Замечание 1

Так как , то , т.е. для непрерывной функции знак функции и предела можно менять местами.

Теорема 2. О непрерывности композиции функций

Пусть функция непрерывна в точке ; функция непрерывна в точке , причем . Тогда непрерывна в точке .

Доказательство:

По условию . Рассмотрим .

Определение 6

Функции назы-

вают основными элементарными функциями. Функции, полученные из основных элементарных с помощью арифметических операций и операции композиции называются элементарными.

Теорема 3

Любая элементарная функция непрерывна на своей области определения.

Пример 1

Покажем непрерывность в любой точке числовой оси.

Доказательство:

Рассмотрим . Тогда , что значит . Мы воспользовались тем, что . Действительно, если , то при . Тогда при . Если же , то .

Определение 7

Точка , в окрестности которой определена функция , причем в самой точке может быть не определена, называется точкой разрыва функции , если не является непрерывной в точке .

Точки разрыва функции бывают:

- точкой устранимого разрыва, если существуют , причем ;

- точкой разрыва I рода, если существуют , но ;

- точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов или бесконечен или не существует.

рис. 6.4

Пример

Рассмотрим функцию . Данная функция определена при . В точке функция имеет разрыв. Найдем и .

Тогда, доопределив функцию в точке , получим функцию , являющейся непрерывной в точке .

Таким образом, мы устранили разрыв. Поэтому точка является точкой устранимого разрыва функции .

Пример 2

Рассмотрим функцию

Каждая составная часть этой функции, кроме последней, непрерывна. Следовательно, надо исследовать функцию на стыках и в точке . Вычислим все односторонние пределы:

1) ;

- точка непрерывности;

2) ;

- точка разрыва I

рода;

3)

– точка разрыва I рода.

Пример

Рассмотрим функцию .

Функция имеет разрыв только в точке . Исследуем его: . Тогда - точка разрыва II рода.

рис. 6.6

п. 4 Бесконечно малые функции и их сравнение

Определение 1

Функцию называют БМФ в окрестности точки , если .

Определение 2

Функцию называют ББФ в окрестности точки , если , т.е. .

Если - БМФ в точке , то -ББФ в точке . Например, функция в является БМФ, а - ББФ в точке .

Определение 3

Пусть - БМФ в окрестности точки . Тогда:

- называют бесконечно малой более высокого порядка малости, чем , если и обозначают ;

- и называют БМФ одного порядка малости, если ;

- и называют эквивалентными,

если и обозначают при .

Теорема 1

Если при , то .

Доказательство:

Рассмотрим .

Теорема 2

Пусть при . Тогда их разность является бесконечно малой большего порядка малости, чем каждая из них, т.е. и при .

Доказательство:

Рассмотрим .

Аналогично, . +

Замечание

Полученный результат позволяет все экви-

валентности записать в виде: если при , то . Например, и т.д.

Определение 4

Представление функции в окрестности точки в виде , где - некоторая константа, называется выделением главной части функции, при этом называется главной частьюфункции в , а - порядок малостиэтой функции.

Пример

Вычислить . Выделим главные части в каждом слагаемом числителя и знаменателя: , , , .

Тогда

п. 5 Свойства функций, непрерывных на промежутке

Определение 1

Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке , а на концах отрезка непрерывна слева и справа соответственно, т.е. , .

Определение 2

Функция ограничена сверху (снизу)на промежутке , если .

Говорят, что функция ограничена на промежутке , если .

Замечание

Пусть . Тогда ограничена на , если .

Определение 3

Говорят, что функция неограниченна на интервале , если .

Определение 4

- ТВГфункции на отрезке , если:

1) ;

2) .

Определение 5

- ТНГфункции на отрезке , если:

1) ;

2) .