Задачи для самостоятельного решения. 7.1. Составить закон распределения числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна
7.1. Составить закон распределения числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,6.
7.2. Из урны, содержащей 7 белых и 4 черных шара, наугад извлекают 3 шара. Пусть Х – число вынутых черных шаров. Построить ряд распределения для этой случайной величины и найти ее математическое ожидание.
7.3. Стрелок ведет стрельбу до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания в цель при любом выстреле равна 0,6. Найти распределение боезапаса, оставшегося неизрасходованным.
7.4. Имеется 4 ключа, из которых только один походит к замку. Найти закон распределения случайной величины Х, равной числу проб при открывании замка, если испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует.
7.5. На пути движения автомобиля 5 светофоров, каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найти закон распределения случайной величины Х, равной числу светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.
7.6. Производится набрасывание колец на колышек до первого попадания. Вероятность попадания равна 0,9. Число колец 5. Составить ряд распределения случайной величины Х, равной числу неиспользованных колец.
7.7. Найти среднее число опечаток на странице рукописи, если вероятность того, что страница содержит хотя бы одну опечатку, равна 0,95. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.
7.8. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течение одной минуты позвонят 3 абонента; в течение одной минуты позвонят 4 абонента?
7.9. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [2; 7]. Найти плотность распределения данной случайной величины.
7.10. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [-3; 2]. Найти функцию распределения данной случайной величины.
7.11. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [3; 8]. Найти функцию распределения данной случайной величины.
7.12. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [2; 8].
7.13. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [7; 10].
7.14. Найти среднеквадратическое отклонение случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [-2; 7].
7.15. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.
7.16. Длина комнаты измеряется с помощью рулетки с грубыми делениями, отделенными расстояниями 10 см. Округление производится до ближайшего деления; случайная величина Х – ошибка измерения. Найти и построить ее функцию плотности, функцию распределения; найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
7.17. Случайная величина распределена равномерно на участке (а, в). Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 3σ.
7.18. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.
7.19. Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 минут. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее, чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее, чем за две минуты до отхода следующего поезда?
7.20. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.
7.21. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).
7.22. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15, 25).
7.23. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределению с параметрами а = 375 г., σ = 25 г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от 300 до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.
7.24. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм.
7.25. Случайная величина Х подчинена нормальному закону с математическим ожиданием т и среднеквадратическим отклонением σ. Вычислить с точностью до 0,01 вероятности попадания Х в следующие интервалы (т, т+σ), (т+σ, т+2σ), (т+2σ, т+3σ).
7.26. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а = 65 т и среднеквадратическим отклонением σ = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.
7.27. Автомат штампует детали. Контролируемая длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.
7.28. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и среднеквадратическим отклонением 0,9 см. Установить:
1) вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр в пределах от 4 до 7 см;
2) вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 2 см;
3) в каких границах следует ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность не выйти за эти границы была равна 0,95.
7.29. Случайная величина Х подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 2,2 и среднеквадратическим отклонением 0,5. Какова вероятность того, что при первом испытании случайная величина окажется на отрезке [3, 4], а при втором испытании – на отрезке [1, 2]?
7.30. Случайная величина Х подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 10. Каково должно быть среднее квадратичное отклонение σ этой случайной величины, чтобы с вероятностью 0,8 отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не превышало 0,2?
7.31. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами т и σ. Определить вероятность pk того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания не превзойдет величины kσ (ответ получить для трех значений = 1, 2, 3).
7.32. Для нормально распределенной случайной величины 15% значений х меньше 12 и 40% значений х больше 16,2. Найти математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.
7.33. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение Х контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется среднеквадратическим отклонением σ =5. Предполагая, что Х – нормально распределена, выяснить, сколько процентов годных деталей изготовляет автомат.
7.34. В условиях предыдущей задачи выяснить, какой должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до 98?
7.35. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ = 20 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.
7.36. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со среднеквадратическим отклонением σ = 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
7.37. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины Х и У (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со среднеквадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.
7.38. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 10. Вероятность попадания Х в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0, 10)?
7.39. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 25. Вероятность попадания Х в интервал (10, 15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (35, 40)?
7.40. Станок-автомат изготовляет валики, причем контролируется их диаметр Х. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным 10 мм и среднеквадратическим отклонением, равным 0,1 мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.
7.41. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой Ох. Средняя дальность полета снаряда равна т. Предполагая, что дальность полета Х распределена по нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ = 80м, найти, какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 120 до 160 метров.
7.42. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание равно 175 см, а среднеквадратическое отклонение равно 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.