Проверка адекватности полученных коэффициентов

Для сравнения трех вариантов линейной зависимости, полученных разными методами, вычисляют сумму квадратов отклонений экспериментальных данных y_i от рассчитанных по найденным формулам значений у_pi в тех же точках.

Таблица 6.

i	xi	yi	y1i	y2i	y3i	(yi - y1i)2	(yi – y2i)2	(yi – y3i)2
	2,5	2,75	2,5	2,8515	2,8798	0,063	0,010	0,016
		6,19	5,98	6,309	6,329	0,044	0,014	0,019
	5,5	10,21	9,46	9,7665	9,7783	0,558	0,194	0,184
		13,00	12,94	13,224	13,228	0,004	0,050	0,052
	8,5	16,78	16,42	16,6815	16,677	0,132	0,010	0,011
		20,37	19,9	20,139	20,126	0,218	0,052	0,058
	11,5	23,27	23,38	23,5965	23,575	0,013	0,109	0,095
		27,05	26,86	27,054	27,025	0,036	0,000	0,001
					Σ	1,067	0,439	0,436

Здесь у_1i значения, рассчитанные по формулам метода «натянутой нити» ; y_2i по методу «средней» ; у_3i по методу наименьших квадратов.

В последней строке таблицы представлены суммы квадратов отклонений расчетных и экспериментальных значений, которые позволяют выбрать зависимость, наиболее адекватно описывающую результаты эксперимента. В данном случае это последняя зависимость, полученная методом наименьших квадратов, поскольку указанная сумма для нее минимальна.

Применение программы Excel для поиска коэффициентов

модели

1. На основе экспериментальных данных определить коэффициенты линейной эмпирической зависимости на основе 3-х различных критериев приближения (близости в среднем, метода наименьших квадратов, среднего квадрата относительного отклонения).

2. Проверить адекватность полученных регрессионных зависимостей по минимуму суммы квадратов отклонений расчетных и экспериментальных значений.

3. Выбрать зависимость наилучшим образом описывающую результаты эксперимента.

Процесс поиска может быть проиллюстрирован в виде таблицы, заполняемой в Excel (табл. 7).

В столбцы для x_iи y_i заносят исходные данные. В столбце для F(x_i) рассчитывают значения целевой функции на основе модели, для тех же значений переменной x_i и начальных значений параметров А₁ – А₃. В последнем столбце вычисляют квадрат отклонения расчетных и экспериментальных значений и их сумму. Активировав ячейку для указанной суммы, включают опцию «поиск решения», задают диапазон изменения параметров и определяют их значения, обеспечивающие min для суммы квадратов отклонений.

Т а б л и ц а 7. Исходная таблица для расчета коэффициентов

номер строки	xi	yi	F(xi)	(yi - F(xi))2
…
n
				Σ(yi - F(xi))2
	A1	A2	A3
	-	-	-

Расчет эмпирических коэффициентов регрессионной зависимости на основе экспериментальных данных, полученных в результате эксперимента с факторным планированием.

Методика расчета коэффициентов регрессионной многофакторной модели для любого количества управляемых переменных (факторов) хорошо известен [1, 3, 10]. Здесь мы покажем возможность использования для этой цели методов приближения эмпирической зависимости и, в первую очередь, метода наименьших квадратов в сочетании с возможностями программы «Excel». Продемонстрируем данный способ на конкретном примере.

При разработке модели процесса получения нетканого материала на чесально-вязально-прошивных агрегатах [20] были использованы следующие факторы:

X₁ – заправочная плотность прошива (число петель на 5 см);

X₂ – число сложений прочеса;

X₃ – масса броска самовеса, г.

По мнению специалистов эти факторы должны оказывать наибольшее влияние на целый спектр свойств такого нетканого материала. Для вычисления коэффициентов зависимостей были выбраны некоторые из них:

Y₁ – разрывная нагрузка по длине, кгс;

Y₂ – разрывная нагрузка по ширине, кгс;

Y₃ – разрывное удлинение по ширине, %;

Y₄ – поверхностная плотность, г/м².

В эксперименте были выбраны следующие уровни варьирования факторов (табл. 8).

Т а б л и ц а 8. Уровни варьирования факторов

Фактор	Уровни варьирования	Интервалы варьирования
-1,68	-1		+1	+1,68
X1						4,0
X2						4,0
X3

Обобщенный вид полиномиального регрессионного уравнения выглядит следующим образом:

.

(12)

Результаты измерений всех выбранных критериев для различных комбинаций уровней факторов приведены в табл. 9. Здесь же показаны результаты расчетов коэффициентов регрессии. Данные табл. 9 скомпонованы следующим образом: столбцы с кодированными значениями факторов X_i, усредненные результаты измерения первого критерия Y₁, расчитанные значения этого критерия (12), квадрат разности расчетного и экспериментального значений. Коэффициенты для каждого критерия представлены отдельно (табл. 10).

Т а б л и ц а 9. Результаты расчета коэффициентов регрессионной модели

X1	X2	X3	Y1	Y1R	(Y1- Y1R)2	Y2	Y2R	(Y2- Y2R)2	Y3	Y3R	(Y3- Y3R)2	Y4	Y4R	(Y4- Y4R)2
			17,9	19,710	3,276	19,7	22,644	8,669	57,8	49,481	69,200	371,3	369,178	4,503
		-1	14,1	14,380	0,078	34,4	34,445	0,002	48,7	46,248	6,011	252,2	254,597	5,744
	-1		14,6	15,753	1,328	36,8	39,214	5,829	46,8	44,339	6,055	277,3	288,241	119,714
	-1	-1	11,9	13,422	2,318	29,2	29,566	0,134	47,1	42,656	19,746	203,7	206,760	9,364
-1			24,4	23,814	0,343	26,7	29,008	5,327	56,0	55,987	0,000	379,2	378,399	0,641
-1		-1	16,1	15,884	0,047	34,1	34,359	0,067	59,4	57,404	3,984	264,4	255,718	75,378
-1	-1		16,5	17,157	0,431	38,7	41,328	6,907	59,2	57,195	4,019	284,3	284,163	0,019
-1	-1	-1	13,1	12,226	0,763	25,5	25,229	0,073	56,3	60,162	14,915	190,2	194,581	19,197
-1,68			17,6	18,658	1,119	36,9	35,257	2,699	67,9	65,843	4,232	279,6	283,807	17,698
1,68			18,6	16,215	5,688	35,7	33,554	4,605	37,3	45,673	70,110	293,7	286,291	54,892
	-1,68		13,3	12,288	1,024	36,9	35,130	3,132	47,8	48,657	0,734	230,3	220,528	95,485
	1,68			18,685	0,099	30,9	28,881	4,078	45,2	50,659	29,804	333,3	339,870	43,161
		-1,68	12,1	12,127	0,001	26,0	27,050	1,104	49,4	50,246	0,716	185,4	185,801	0,161
		1,68	22,1	20,746	1,834	35,5	30,660	23,421	45,0	50,470	29,919	360,9	357,297	12,979
			14,4	15,023	0,388	25,5	28,279	7,722	69,4	55,746	186,422	279,7	278,578	1,259
			14,9	15,023	0,015	28,3	28,279	0,000	51,1	55,746	21,589	261,2	278,578	301,995
			15,1	15,023	0,006	31,0	28,279	7,405	54,9	55,746	0,716	274,1	278,578	20,053
			15,6	15,023	0,333	29,0	28,279	0,520	50,9	55,746	23,487	279,2	278,578	0,387
			14,8	15,023	0,050	27,8	28,279	0,229	54,7	55,746	1,095	288,4	278,578	96,472
			15,1	15,023	0,006	27,4	28,279	0,772	54,6	55,746	1,314	288,3	278,578	94,517
					19,146			82,695			494,069			973,618

Расчет коэффициентов вели следующим образом: задавали произвольные исходные значения коэффициентов (например, X_i = X_ij = 1), получали расчетное значение критерия Y_iR и вычисляли (Y_i - Y_iR)². Используя опцию «Поиск решения» вычисляли набор коэффициентов, обеспечивающих минимум суммы квадратов Σ(Y_i - Y_iR)². Результаты расчетов для всех критериев представлены в табл. 10.

Т а б л и ц а 10. Расчетные значения коэффициентов моделей

a0	a1	a2	a3	a12	a13	a23	a11	a22	a33	Для Y1
15,02	-0,73	1,90	2,565	-0,675	-0,65	0,75	0,855	0,164	0,501
a0	a1	a2	a3	a12	a13	a23	a11	a22	a33	Для Y2
28,28	-0,51	-1,9	1,074	-1,0625	-1,612	-5,36	2,171	1,32	0,204
a0	a1	a2	a3	a12	a13	a23	a11	a22	a33	Для Y3
55,75	-6	0,6	0,067	1,587	1,1625	0,387	0,00413	-2,157	-1,91
a0	a1	a2	a3	a12	a13	a23	a11	a22	a33	Для Y4
278,6	0,74	35,5	51,04	-3,325	-2,025	8,275	2,293	0,574	-2,49

Для сравнения приведем модели, полученные нами и те, которые были получены на основе факторного анализа [1, 10]. Следует лишь сразу отметить, что модели, приведенные в [20], учитывают только наиболее значимые коэффициенты.

Y₁ = 15,02 – 0,73x₁ + 1,9x₂ + 2,565x₃ – 0,675x₁x₂ – 0,65x₁x₃ + 0,75x₂x₃ + +0,855x₁²+ 0,164x₂² + 0,501x₃²;

Y₁ = 15,024 + 1,978x₂ + 2,615x₃ ;

Y₂ = 28,28 – 0,51x₁ - 1,9x₂ + 1,074x₃ – 1,0625x₁x₂ – 1,612x₁x₃ - 5,36x₂x₃ + +2,171x₁²+ 1,32x₂² + 0,204x₃²;

Y₂ = 28,207 – 4,737x₂x₃ + 2,369x₁²;

Y₃ = 55,75 – 6,0x₁ + 0,6x₂ + 0,067x₃+ 1,587x₁x₂+ 1,1625x₁x₃ + 0,387x₂x₃ + +0,00413x₁²- 2,157x₂² - 1,91x₃²;

Y₃ = 55,746 – 5,993x₁- 2,174x₂² - 1,908x₃²;

Y₄ = 278,6 + 0,74x₁ + 35,5x₂ + 51,04x₃ - 3,325x₁x₂ - 2,025x₁x₃ + 8,275x₂x₃ + +2,293x₁²+ 0,574x₂² - 2,49x₃²;

Y₄ = 279,2 + 34,7x₂ + 51,0x₃ + 7,693x₂x₃ .

Как мы видим, значения наиболее весомых коэффициентов близки и отличаются только из-за того, что в расчете по методу наименьших квадратов учтены все комбинации факторов.

Таким образом, мы получили те же регрессионные модели на основе тех же исходных экспериментальных данных. Отличие состоит в том, что при использовании для определения коэффициентов эмпирической зависимости метода наименьших квадратов не обязательно соблюдать все требования эксперимента с факторным планированием, а именно: в эксперименте с факторным планированием [1] исследователь «на основе известной информации о процессе определяет значение основного уровня факторов, интервал варьирования факторов и верхний и нижний уровни факторов». Соблюсти эти требования иногда сложно, особенно, если они касаются характеристик сырьевых компонентов. В методе наименьших квадратов не требуется строгого выполнения этого требования.