Проверка адекватности модели

При моделировании приходится формализовать связи исследуемого явления (процесса), из-за чего возможна потеря некоторой информации об объекте. Иногда некоторые связи не учитываются. В то же время основное требование к математической модели заключается в ее пригодности для решения поставленной задачи и адекватности процессу. Регрессионную модель называют адекватной, если предсказанные по ней значения у согласуются с результатами наблюдений. Так, построив модель в виде линейного уравнения регрессии, мы хотим, в частности, убедиться, что никакие другие модели не дадут значительного улучшения в описании предсказания значений у. В основе процедуры проверки адекватности модели лежат предположения, что случайные ошибки наблюдений являются независимыми, нормально распределенными случайными величинами с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями.

Сформулируем нуль-гипотезу Н₀: "Уравнение регрессии адекватно".

Альтернативная гипотеза Н₁: "Уравнение регрессии неадекватно".

Для проверки этих гипотез принято использовать F-критерий Фишера.

При этом общую дисперсию (дисперсию выходного параметра) S _y² cравнивают с остаточной дисперсией S_уост².

Напомним, что

(2.1)

где l=k+1 – число членов аппроксимирующего полинома, а k – число факторов. Так, например, для линейной зависимости k=1, l=2.

В дальнейшем определяется экспериментальное значение F-критерия

(2.2)

который в данном случае показывает, во сколько раз уравнение регрессии предсказывает результаты опытов лучше, чем среднее

Если , то уравнение регрессии адекватно. Чем больше значение превышает для выбранного α и числа степеней свободы m₁=n-1, m₂=n-l, тем эффективнее уравнение регрессии.

Рассмотрим также случай, когда в каждой i-й точке x_i для повышения надежности и достоверности осуществляется не одно, а m* параллельных измерений (примем для простоты, что m* одинаково для каждого фактора). Тогда число экспериментальных значений величины у составит n_Σ=n⋅m*.

В этом случае оценка адекватности модели производится следующим образом:

1) определяется – среднее из серии параллельных опытов при x=x_i, где y_ij – значение параметра у при x=x_i в j-м случае;

2) рассчитываются значения параметра по уравнению регрессии при x=x_i;

3) рассчитывается дисперсия адекватности

где n – число значений x_i; l – число членов аппроксимирующего полинома (коэффициентов b_i), для линейной зависимости l=2;

4) определяется выборочная дисперсия Y при x=x_i:

5) определяется дисперсия воспроизводимости

Число степеней свободы этой дисперсии равно m=n(m*-1);

6) определяется экспериментальное значение критерия Фишера

7) определяется теоретическое значение этого же критерия

где m₁=n-l; m₂= n (m*-1);

8) если , то уравнение регрессии адекватно, в противном случае – нет.