Определение вида и коэффициентов нелинейной эмпирической зависимости на основе экспериментальных данных

При изучении технологических процессов экспериментально полученные зависимости часто имеют нелинейный характер. Таким образом, задача заключается в нахождении функции наилучшим образом отвечающей экспериментальным данным. Применение метода наименьших квадратов непосредственно часто оказывается затруднительным. Обычно применяют метод функциональных шкал. Сложность заключается в том, что похожий вид могут иметь совершенно разные функциональные зависимости и заранее сказать какой функции соответствуют полученные экспериментальные данные, если это не следует из физического смысла процесса, оказывается невозможным. Так, например, могут иметь одинаковый характер отдельные участки графиков: a/x + b , a/x² + b и ae^-bx, или ax² + bx + c и ae^bx + c , или a√x + b и aln(x) + b и т.п.

Ошибка в выборе функции повлечет за собой последующие ошибки, и возможно значительные, при попытке экстраполяции зависимости на более широкий интервал.

Использование функциональных шкал позволяет с большей надежностью выбирать правильный вид функции, т.к. при правильном выборе нелинейная зависимость преобразуется в линейную, что обычно видно уже из графика. Таким образом, преимущество метода в том, что проверить линейность полученной прямой, определить ее параметры и сравнить между собой различные функциональные зависимости можно уже любым известным методом. В конечном счете выбирают функцию, для которой сумма квадратов отклонений экспериментальных результатов от расчетных будет минимальна.

Например, зависимость имеет, вид: y = af(x) + b , где f(x) - выбранная функция, а и b– коэффициенты, подлежащие определению по данным опыта.

Вид функции выбирают исходя либо из теоретических соображений, либо из расположения экспериментальных точек на графике. Существенную помощь в этом может оказать методика, описанная в учебнике А. Г. Севостьянова [1].

В этом случае преобразование имеет простой вид. Положив f(x) = X можно привести уравнение к виду: y = aX + b

Если зависимость предполагается искать, например, в виде y = a exp(kx) или y = ax^k , то имеет смысл прологарифмировать обе части уравнения: ln(y) = ln(a) + kx и ln(y) = ln(a) + kln(x) . Тогда, заменяя переменные Y = ln(y) в первом случае и дополнительно к этому X = ln(x) – во втором случае, получим:

Y = ln(a) + kx и Y = ln(a) + kX

Рассмотрим алгоритм, предлагаемый в упомянутом учебнике.

Таблица 11.

№ п/п	Вид исходной модели	Преобразование переменных	Уравнение прямой после преобразования	Промежуточные точки исх. переем.
Хпр	Упр
	Степенная Y = a0Xa1	y = ln Y x = ln X a0΄ = ln a0	y = a0΄ + a1x
	Показательная Y = a0 ea1X	y = ln Y a0΄= ln a0	y = a0΄ + a1X
	Гиперболическая Y = a0 +a1/X	x = 1/X	Y = a0 + a1x
	Гиперболическая Y = 1/(a0 + a1X)	y = 1/Y	y = a0 + a1X
	Гиперболическая Y = 1/(a0 + a1/X)	x = 1/X y = 1/Y	y = a0 + a1x
	Логарифмическая Y = a0 + a1 ln X	x = ln X	Y = a0 + a1x

(X₁, Y₁) и (X_n, Y_n) – начальные и конечные значения в выборке.

Для выбора «подходящей» зависимости необходимо представлять вид каждой из них. Они представлены в виде графиков на рис. 2 – 7 .

y

x

Рис. 2. Степенная зависимость для разных коэффициентов (a₀>0)

1 – a₁> 1; 2 – a₁ = 1; 3 – 0 <a₁< 1; 4 – a₁< 0 .

y

x

Рис. 3. Экспоненциальная зависимость (a₀>0)

1 – a₁> 0; 2 – a₁<0;

x

y

Рис. 4. Гиперболическая зависимость - 3 (a₀>0)

1 – a₁> 0; 2 – a₁< 0;

y

x

Рис. 5. Гиперболическая зависимость - 4 (a₀>0)

1 – a₁>0; 2 – a₁< 0;

x

y

Рис. 6. Гиперболическая зависимость - 5 (a₀>0)

1 – a₁>0; 2 – a₁< 0;

x

y

Рис. 7. Логарифмическая зависимость (a₀>0)

1 – a₁> 0; 2 – a₁< 0;