Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями

Пусть на значения случайной величины X оказывают влияние два фактора A и B, причем эти факторы взаимодействуют друг с другом, влияют на математическое ожидание величины X и не влияют на её дисперсию.

Имеется выборка {x_ijk, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, l, k = 1, 2, …, q} значений признака X, полученных при уровнях A_i и B_j факторов A и B. Каждой паре (A_i, B_j) значений факторов A и B соответствует q значений признака x_ijk, k = 1, 2, …, q .

Необходимо проверить три гипотезы:

Фактор A не влияет на значение признака X;

Фактор B не влияет на значение признака X;

Взаимодействие факторов A и B не влияет на значение признака X.

Пример 1.3При выращивании помидоров на тридцати участках применялись пять видов удобрений и шесть технологий выращивания. Каждый участок был разбит на четыре делянки, т.е. каждой паре уровней факторов (вид удобрений, технология выращивания) соответствуют четыре значения показателя урожайности (табл.1.4). Влияют ли факторы (вид удобрений и технология выращивания) на урожайность продукции?

Таблица 1.4

	Технология 1	Технология 2	Технология 3	Технология 4	Технология 5	Технология 6
Вид А
Вид Б
Вид В
Вид Г
Вид Д

Решение. Введите данные из табл.1.4 в программе Excel, как показано на рис.1.5.

Рис.1.5

Войти в меню «Анализ данных», выберите процедуру «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями», и в открывшемся окне (рис.1.6) введите в строке «Входной интервал» диапазон А1:G21, в строке «Число строк для выборки» введите число 4, выберите в строке «Альфа» уровень значимости 0,05 и нажмите «Ок».

Рис.1.6

Результаты приведены в таблице 1.5.

Таблица 1.5

	A	B	C	D	E	F	G	H
	Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями
	ИТОГИ	Технология 1	Технология 2	Технология 3	Технология 4	Технология 5	Технология 6	Итого
	Вид А
	Счет
	Сумма
	Среднее	136,25		136,75		138,25	141,75	137,5
	Дисперсия	64,92	70,00	76,92	22,67	40,25	26,92	44,09
	Вид Б
	Счет
	Сумма
	Среднее			134,5	125,5	128,75	128,25
	Дисперсия	4,67	61,33	158,33	1,67	108,92	46,92	59,22
	Вид В
	Счет
	Сумма
	Среднее	128,50	135,75	137,25	134,25	130,00	134,75	133,42
	Дисперсия	43,00	127,58	124,25	70,25	127,33	116,25	89,56
	Вид Г
	Счет
	Сумма
	Среднее	132,50	134,50	130,00	128,75	132,25	128,25	131,04
	Дисперсия	51,67	25,67	103,33	140,92	66,25	51,58	62,48
	Вид Д
	Счет
	Сумма
	Среднее	137,25	141,75	130,75	133,00	133,50	135,00	135,21
	Дисперсия	70,92	84,92	127,58	59,33	32,33	56,00	69,22
	Итого
	Счет
	Сумма
	Среднее	132,9		133,85	131,7	132,55	133,6
	Дисперсия	49,36	67,89	102,66	64,12	70,68	73,73
	Дисперсионный анализ
	Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
	Выборка	892,72		223,1792	3,0959	0,0195	2,4729
	Столбцы	217,17		43,4333	0,6025	0,6981	2,3157
	Взаимодействие	759,58		37,9792	0,5268	0,9479	1,6883
	Внутри			72,0889
	Итого	8357,5

Вывод. Сравнивая наблюденные значения F (ячейки F43:F45) с критическими (ячейки Н43:Н45), мы видим, что вид удобрений влияет на урожайность, а технология выращивания и взаимодействие этих факторов не влияют.