Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений

Однофакторный дисперсионный анализ

Однофакторный дисперсионный анализ применяется для того, чтобы ответить на следующий вопрос: влияет ли некий качественный фактор А, имеющий несколько уровней А₁, А₂, …, А_k, на случайную величину X, имеющую нормальный закон распределения вероятностей с дисперсией σ².

Находим критическое значение по таблице распределения Фишера-Снедекора.

Если , то делается вывод о том, что влияние фактора А значимо с уровнем значимости α.

Пример 1.1Определить с уровнем α = 0,05 значимость различия производительности труда в трех бригадах рабочих-токарей за десять дней работы (табл. 1.1, за каждый день приведено среднее число изготовленных за час деталей на одного рабочего).

Таблица 1.1

Дни	1-я бригада	2-я бригада	3-я бригада

Используем табличный процессор EXCEL.

Решение. Введите данные о производительности труда из табл.1.1 в диапазоне А1:С11.

Войти в меню «Анализ данных», в появившемся окне выберите «Однофакторный дисперсионный анализ», укажите в строке «Входной интервал» диапазон А1:С11, установите флажок в строке «Метки», введите в строке «Альфа» уровень значимости 0,05, в строке «Выходной интервал» введите ссылку А15 и нажмите кнопку «Ок».

Рис.1.1

В результате расчета в диапазоне А15:G29 будут выведены итоги (рис.1.2). Значение F-критерия равно 14,3571, и оно больше критического значения 3,3541.

Рис.1.2

Вывод. Различие производительности труда в бригадах значимо с уровнем значимости 0,05.

Обратите внимание на P-Значение в ячейке F26. Это число 0,0001 соответствует уровню значимости, для которого наблюденное значение F-критерия 14,3571 является критическим. Другими словами, различие в производительности труда значимо с уровнем 0,0001.

Так как P-Значение меньше уровня значимости 0,05, то различие производительности труда в бригадах значимо.

Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений

Пусть на значения случайной величины X оказывают влияние два фактора A и B, причем эти факторы друг с другом не взаимодействуют, но влияют на математическое ожидание величины X и не влияют на её дисперсию.

Имеется выборка {x_ij, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, l} значений признака X, полученных при уровнях A_i и B_j факторов A и B. Каждой паре A_i и B_j значений факторов соответствует одно значение x_ij.

Необходимо проверить две гипотезы:

Фактор A не влияет на значение признака X;

Фактор B не влияет на значение признака X.

Пример 1.2При выращивании помидоров на тридцати участках применялись пять сортов семян и шесть технологий выращивания. В табл.1.2 приведены показатели урожайности помидоров. Влияют ли факторы (сорт семян и технология выращивания) на урожайность продукции?

Таблица 1.2

	Технология 1	Технология 2	Технология 3	Технология 4	Технология 5	Технология 6
Сорт А
Сорт Б
Сорт В
Сорт Г
Сорт Д

Решение. Введите данные из табл.1.2 в программе Excel, как показано на рис.1.3.

Рис.1.3

Войти в меню «Анализ данных», выберите процедуру «Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений», и в открывшемся окне (рис.1.4) введите в строке «Входной интервал» диапазон А1:G6, поставьте флажок в строке «Метки», выберите в строке «Альфа» уровень значимости 0,05 и нажмите «Ок».

Рис.1.4

Результаты приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

	A	B	C	D	E	F	G
	Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений
	ИТОГИ	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
	Сорт А			134,33	30,67
	Сорт Б			130,67	53,87
	Сорт В
	Сорт Г			142,67	24,67
	Сорт Д			128,5	44,3
	Технология 1			132,2	92,2
	Технология 2
	Технология 3			130,6	61,8
	Технология 4			132,6	36,3
	Технология 5			136,2	50,2
	Технология 6			135,2	73,7
	Дисперсионный анализ
	Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
	Строки	719,47		179,8667	4,8525	0,0067	2,8661
	Столбцы	116,17		23,2333	0,6268	0,6813	2,7109
	Погрешность	741,33		37,0667
	Итого	1576,97

Вывод. Мы видим, что наблюденное значение F-критерия больше критического значения для строк (ячейки Е20 и G20). В ячейке F20 P-Значение равно 0,0067 и оно меньше уровня значимости 0,05 (это следует из предыдущего). Фактор «Сорт семян» влияет на урожайность помидоров.

А в строке «Столбцы» наблюденное значение F-критерия меньше критического значения для строк (ячейки Е21 и G21). (В ячейке F21 P-Значение 0,6813 больше уровня значимости 0,05.) Фактор «Технология выращивания» не влияет на урожайность помидоров.