Vzpomeň si na větu o ekvivalentních úpravách skupiny generátorů!!

Matice řádu n

- s n řádky a n sloupci

A =

Hlavní a vedlejší diagonála matice

a11	a12	a13	a14
a21	a22	a23	a24
a31	a32	a33	a34

vedlejšíhlavní

diagonála diagonála

Nulová matice typu (m,n)

A =

Jednotková matice řádu n

E_n =

Kdy se dvě matice A a B rovnají?

A = B , jestliže jsou obě matice stejného typu (m, n)

a navíc

a_ij = b_ij pro i = 1, 2, . . . , m

j = 1, 2, . . . , n

Maticové operace

Sčítání maticA, B matice typu (m, n)

A + B =

Násobení matice reálným číslem

r ∈ R, matice A typu (m,n)

r . A =

věta (o vlastnostech maticových operací):

Nechť A, B a Cjsou matice typu (m, n), r, s ∈ R.

Pak platí

1) A+ B = B+ A, komutativní z.

2) A+ (B + C) = (A + B) + C, asociativní z.

3) r(A + B) = rA + rB, distributivní z.

4) (r + s)A = rA + sA, distributivní z.

5) r(sA) = (rs)A.

věta:

Množina R_mxn všech matic typu (m, n) spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem tvoří vektorový prostor dimenze mn.

Hodnost matice

definice:

Hodnostímatice A typu (m, n) rozumíme dimenzi podprostoru Rⁿgenerovaného řádkovými vektory matice A. Hodnost matice A označíme h(A).

Poznámka.Hodnost matice je rovna nejvyššímu počtu lineárně nezávislých řádku matice. Hodnost nulové matice h(O) = 0.

definice:

Řekneme, že matice T typu (m, n) je trojúhelníková matice, jestliže m≤n a pro prvky matice Tplatí

t_ij = 0 pro j < i a t_ii ≠ 0 pro i = 1,…, m.

věta:

Je-li matice T typu (m,n) trojúhelníková matice, pak

h(T)=m

Vzpomeň si na větu o ekvivalentních úpravách skupiny generátorů!!

Postup při hledání hodnosti matice A:

1) ekvivalentní úpravy

A ------------------------------> T

2) spočítej počet řádků matice T

definice:

Nechť Aje matice typu (m, n). Transponovanoumaticí k matici Anazveme matici A^Ttypu (n, m) pro kterou platí, že i-tý řádek matice Aje i-tým sloupcem matice A^T.

věta:

Nechť A^T je transponovaná matice k matici A, pak platí

h(A) = h(A^T).

Poznámka.Označme r₁, r₂, . . . , r_m řádkové vektory, resp. s₁, s₂, . . . , s_n sloupcové vektory matice A. Označme R(A) podprostor Rⁿ generovaný řádkovými vektory matice A a analogicky označme S(A) podprostor R^m generovaný sloupcovými vektory matice A.

Právě uvedená věta tvrdí, že

dim R(A) = dim S(A) .

Prostor R(A) nazýváme řádkovým modulem a prostor S(A) sloupcovým modulemmatice A.

Metoduurčení hodnostimatice lze velmi dobře použítke zjišťování lineární závislosti, resp. nezávislosti skupiny vektorů.