Предел функции на бесконечности

Определение 1. Функция a(х), определенная на луче [а;+ ), называется бесконечно малой при х, стремящемся к плюс бесконечности (пишут: х®+ ), если для любого положительного числа e существует такое число М, зависящее от e, что при всех х, больших М, ïa(х)ï<e.

Другими словами, какой бы интервал (–e;e) мы ни взяли, все значения функции, начиная с некоторого значения аргумента, попадают в этот интервал.

Определение 1*. Функция a(х), определенная на луче (– ;a], называется бесконечно малой при х, стремящемся к минус бесконечности (х®– ), если для любого положительного числа e существует такое число М, зависящее от e, что при всех х, меньших М, ïa(х)ï<e.

Определение 1**. Функция a(х), определенная на промежутке (– ;a]È[b;+ ), называется бесконечно малой при х, стремящемся к бесконечности (х® ), если для любого положительного числа e существует такое число М, зависящее от e, что при всех х таких, что ïхï>М, ïa(х)ï<e.

Замечание. Если функция a(х) является бесконечно малой при х®+ (или при х®– , или при х® ), то график у=a(х) имеет горизонтальную асимптоту у=0 при х®+ (соответственно при х®– или при х® ).

Свойства функций, бесконечно малых на бесконечности, аналогичны свойствам бесконечно малых последовательностей и аналогично доказываются. Сформулируем эти свойства для функций, бесконечно малых на плюс бесконечности.

1^о. Если бесконечно малая на плюс бесконечности функция a(х) – постоянная, то a(х)=0 при всех х.

2^о. Если функции a(х) и b(х) – бесконечно малые на плюс бесконечности, то функция g(х)=a(х)+b(х) – тоже бесконечно малая.

3^о. Если функция a(х) – бесконечно малая на плюс бесконечности и ïb(х)ï£ïa(х)ï при всех х³М, то функция b(х) – тоже бесконечно малая.

4^о. Если функция a(х) – бесконечно малая на плюс бесконечности, то эта функция ограничена на некотором луче х³М.

5^о. Если функция a(х) – бесконечно малая на плюс бесконечности, а функция b(х) ограничена на некотором луче х³М, то функция g(х)=a(х)b(х) – тоже бесконечно малая.

Следствие 1. Если функция a(х) – бесконечно малая на плюс бесконечности, то для любого числа С функция Сa(х) – бесконечно малая.

Следствие 2. Если функции a(х) и b(х) – бесконечно малые на плюс бесконечности, то функция g(х)=a(х)b(х) – тоже бесконечно малая.

Определение 2. Пусть функция f(х) определена на луче [х₀;+ ). Число а называется пределом функции f(х) при х®+ , если функция a(х)=f(х)–а, является бесконечно малойпри х®+ .

Обозначение предела функции на бесконечности:

а = .

Из определения следует, что для функции, бесконечно малой на плюс бесконечности, =0, а предел постоянной функции f(х)=а равен а.

Свойства предела функции на плюс бесконечности сформулируем в виде теорем, аналогичных теоремам 1-5 предыдущего пункта.

Теорема 1 (о единственности предела). Если =a и =b, то a = b.

Теорема 2 (об ограниченности функции, имеющей предел). Если =a, то существует такой луч х³М, на котором функция ограничена.

Теорема 3 (о переходе к пределу в неравенстве). Если =a и =b, причем f(x)£g(x) на некотором луче х³М, то a£b.

Следствие. Если =a, причем f(x)£0 на некотором луче х³М, то a£0. Если =a, причем f(x)³0 на некотором луче х³М, то a³0.

Теорема 4 (о промежуточной функции). Если =a и =a, причем f(x)£h(x)£g(x) на некотором луче х³М, то =a.

Теорема 5 (об арифметических операциях с пределами).

1) Если =a и =b, то =a+b.

2) Если =a и =b, то =bc.

Следствие. Если =a, то =Ca.

3) Если =a, причем a¹0, то = .

Следствие. Если =a и =с, причем c¹0, то = .

Замечание. Если =a, то график у=f(х) имеет горизонтальную асимптоту у=a при х®+ .

Аналогично формулируются и теоремы о пределе функции на минус бесконечности и на бесконечности.

Определение 3. Функция a(х) называется бесконечно большой при х®+ , если функция является при х®+ бесконечно малой. Это записывают так: = ¥. Аналогично определяется функция, бесконечно большая при х®– или при х® .

Важный пример. Если функция f(х) является отношением многочленов Р(х) степени n и Q(x) степени k, то при k>n функция f(x) является бесконечно малой при х® , а при k<n функция f(x) является бесконечно большой при х® . Если же k=n, то функция f(x) при х® имеет предел, равный отношению старших коэффициентов многочленов Р(х) и Q(x).