Неперервність функції. основні властивості.
ФУНКЦІЯ. ОСНОВНІ СПОСОБИ ЗАДАННЯ ФУНКЦІЇ.ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ
Фу́нкція — це правило, яке кожному елементу з першої множини (області визначення) ставить у відповідність один і тільки один елемент з другої множини. Часто цю другу множину називають цільовою множиною чи образом функції чи відображення.
Основні способи задання функції:
· Аналітичний спосіб.При даному способі задання функція задається за допомогою формули , де – деякий вираз із змінною х.
· При графічному способі заданнязображають графік функції в системі координат х0у.
· Табличний спосіб задання функції полягає в тому, що відповідність між елементами множин і задається у формі таблиці. При цьому способі наводиться таблиця, що вказує значення функції для наявних в таблиці значень аргументу
· При словесному способі задання функціїзакон, за яким значення функції відповідають значенням аргументу, формулюється словесно. Так, наприклад, розмір прибуткового податку є функцією заробітної плати платника податків.
Елементарні функції — клас функцій, що містить в собі степеневі функції, многочлени, показникові функції, логарифмічні функції, тригонометричні функції, зворотні тригонометричні функції, а також функції, що отримуються із перелічених вище за допомогою чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) та композиції, застосованих скінченну кількість разів. Наприклад, раціональні функції є відношеннями многочленів, тому вони належать до елементарних функцій. Так само, неважко переконатися, що до елементарних функцій належать гіперболічні та зворотні гіперболічні функції.
Будь-яка елементарна функція є неперервною і диференційовною у своїй області визначення. Похідна елементарної функції також є елементарною функцією. З іншого боку, зворотна функція та первісна елементарної функції може не бути елементарною функцією.
ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ В ТОЧЦІ. РОЗКРИТТЯ ДЕЯКИ НЕВИЗНАЧЕНОСТЕЙ ПРИ ЗНАХОДЖЕННІ ГРАНИЦІ ФУНКЦІЇ.
Границя функції в точці — фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.
Позначення:
або при
НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ.
Функція називається неперервною в точці (continuous function at point), якщо:
1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;
2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:
, або .
Теорема 1. Якщо функції і є неперервними в точці , то в цій точці будуть неперервними і функції , .
Теорема 2. Якщо і є неперервними в точці і , то в точці є неперервною також і функція .
Теорема 3. Нехай функція неперервна на проміжку і приймає на його кінцях значення різних знаків. Тоді вона обертається в нуль хоча б в одній точці цього проміжку. Якщо функція є монотонною на , то вона перетворюється на 0 тільки один раз.