Властивості функції розподілу

Тема: Випадкова величина, закон її розподілу. Функції розподілу випадкових величин

1. Види випадкових величин

Під випадковою величиною, пов’язаною з деяким випробуванням, розуміється всяка величина, яка при проведенні цього випробування приймає те чи інше значення. ВВ позначаємо великими латинськими літерами, а їх можливі значення – малими латинськими літерами з індексами. Наприклад, . Випадкові величини поділяються на дискретні та неперервні.

Дискретною випадковою величиною називається величина, можливі значення якої можуть бути пронумеровані в якомусь порядку і записані у вигляді послідовності .

Якщо таку нумерацію можливих значень з використанням натурального ряду чисел здійснити не можна, то випадкова величина називається неперервною. Кількість можливих значень такої величини є нескінченна. Наприклад, величина похибки, яка може бути при вимірюванні відстані; зріст людини тощо.

2. Поняття закону розподілу дискретних випадкових величин

Співвідношення між можливими значеннями випадкових величин ( ) та їхніми ймовірностями ( ) дістало назву закону розподілу випадкових величин.

Закони розподілу ДВВ можуть бути виражені таблицею (рядом розподілу), графіком (многокутником розподілу), аналітично (у вигляді функції ).

Приклад. У грошовій лотереї на 10 білетів розігрується один виграш у 50 г.о., 10 білетів -

у 1 г.о. Знайти закон розподілу випадкових величин – вартості можливого виграшу для власника одного лотерейного білета. Розв’язання.

Можливі значення випадкової величини: .

X	0	1	50
P	0,89	0,1	0,01

або Закон розподілу:

3. Інтегральна функція розподілу

Для повної характеристики неперервної випадкової величини вводять інтегральну та диференціальну функції розподілу.

Інтегральною функцією розподілу (функцією розподілу) називають ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше х, тобто

Функція розподілу для ДВВ має вигляд .

Властивості функції розподілу

1.

2. зростаюча функція, тобто , якщо

3. =0 при ; =1 при

4. Диференціальна функція розподілу

Диференціальною функцією розподілу або щільністю ймовірностей НВВ називають похідну першого порядку від її інтегральної функції розподілу, тобто

Функція розподілу є первісною для диференціальної функції розподілу .

Ймовірність того, що НВВ Х прийме значення з інтервалу , можна знайти за формулою

або

Якщо диференціальна функція розподілу відома, то інтегральну функцію розподілу можна знайти за формулою . Властивості диференціальної функції розподілу

1. , тому, що вона є похідною зростаючої функції .

2. =0 при та .

3. тому, що подія - достовірна.

Приклад. Випадкова величина Х задана таблицею:

Х = хі	– 4	– 1
Р(Х= хі) = рі	0,1	0,2	0,1	0,3	0,1	0,2

Побудувати F(x) та її графік.

Розв’язання.

F(x) можна записати в такій формі:

Графік функції F(x) зображено на рис. 1.

Рис. 1

Приклад. Закон неперервної випадкової величини Х задано у вигляді:

Знайти F(x) і побудувати графіки функцій f (x), F(x). Обчислити

Розв’язання.

Отже, функція розподілу ймовірностей буде така:

Графіки функцій f (x), F(x) зображені відповідно на рис. 1 і 2.

Рис. 1 Рис. 2

X
P

ряд розподілу (Барковський с.101)

- многокутник розподілу (Барковський с.102)