Властивості кореляційної функції

Тема 1. ВИПАДКОВИЙ ПРОЦЕС ТА ЙОГО ХАРАКТЕРИСТИКИ

Заняття 1. Характеристики випадкових процесів.

Теоретичні довідки та приклад розв’язування задачі

Будь-яка кількісна характеристика експерименту називається випадковою величиною.

Випадковим процесом X(t) називається процес, значення якого при будь-якому значенні аргументу t є випадковою величиною.

Реалізацією випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція x(t), в яку перетворюється випадковий процес X(t) в результаті експерименту; іншими словами, конкретний вид, що прийняв випадковий процес X(t), який спостерігався на якомусь відрізку часу від 0 до .

Якщо проведено не один експеримент, а декілька, в результаті кожного з яких було спостережено якусь реалізацію випадкового процесу x_i(t) (i – номер експерименту), то отримаємо декілька різних реалізацій випадкового процесу x₁(t), x₂(t), …, x_i(t), … або сім’ю реалізацій.

Характеристиками випадкового процесу називають його моменти, які є невипадковими функціями.

Математичним сподіванням випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція m_X(t) аргументу t, яка при кожному даному значенні аргументу дорівнює математичному сподіванню значення випадкового процесу при тому ж значенні аргументу:

.

Властивості математичного сподівання випадкового процесу.

Якщо – невипадковий процес, то .

Якщо X(t) – випадковий процес, а – невипадковий процес, то .

Якщо X_i(t), – випадкові процеси, то .

Центрованим випадковим процесом називається різниця між випадковим процесом та його математичним сподіванням:

. (1.1)

Дисперсією випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція D_X(t) аргументу t, яка при кожному даному значенні аргументу t дорівнює дисперсії значення випадкового процесу при тому ж значенні аргументу:

D_X(t)=D[X(t)].

Середім квадратичним відхилом випадкового процесу називається квадратний корінь із дисперсії:

. (1.2)

Властивості дисперсії випадкового процесу.

1. Якщо – невипадковий процес, то .

2. Якщо X(t) – випадковий процес, а – невипадковий процес, то ; .

Кореляційною функцією випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція двох аргументів , яка при кожній парі значень t₁ і t₂ дорівнює кореляційному моменту відповідних значень випадкового процесу:

. (1.3)

При рівних між собою значеннях аргументів t₁=t₂=t кореляційна функція випадкового процесу дорівнює дисперсії цього процесу:

. (1.4)

Властивості кореляційної функції.

1. .

2. Якщо , де X(t) – випадковий процес, – невипадковий процес, то .

3. Якщо , де X(t) – випадковий процес, – невипадковий процес, то .

4. .

Нормованою кореляційною функцією випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція двох незалежних аргументів t₁ і t₂ , що визначається за формулою:

. (1.5)

Абсолютна величина .

Взаємною кореляційною функцією двох випадкових процесів X(t) і Y(t) називається невипадкова функція K_XY(t₁,t₂) двох незалежних аргументів t₁ і t₂, яка при кожній парі значень аргументів дорівнює кореляційному моменту відповідних значень випадкових процесів X(t) і Y(t):

. (1.6)

Корельованими називаються два випадкових процеса, якщо їх взаємна кореляційна функція не дорівнює тотожно нулю.

Некорельованими називаються два випадкових процеса, взаємна кореляційна функція яких тотожно дорівнює нулю.