Теорема 3 (друга ознака опуклості функції). Якщо f(x) опукла в інтервалі (a; b), то для будь-якої точки х0 Î (a; b) функція
, (4)
Монотонно зростаюча по х (неспадна). Якщо функція f(x) строго опукла, то F(x, x0) — строго зростаюча.
Справджується й обернена теорема.
Теорема 4. Якщо функціяf(x)задана в інтервалі(а; b)і для будь-якої точки функція
,
неспадна, тоf(x)опукла(а; b), якщо строго зростаюча, тоf(x)строго опукла на(а; b).
Теорема 5 (третя ознака опуклості функції). Функціяf(x)строго опукла в інтервалі(а; b)тоді і тільки тоді, коли для будь-якихх1 < x2 < x3 із (а; b).
.
Очевидно, що є критерієм для опуклої функції.
5.5.4. Властивості опуклих і вгнутих функцій
Нехай функціяf(x)опукла в інтервалі(а; b) с Î (а; b).Тоді існують кінцеві ліва і права похідні в точці а, тобто і , причому .
Якщо функція f(x) опукла (строго опукла) в інтервалі(а; b),то для будь-яких точоксіd,c < d, інтервалу виконується нерівність
Похідні і монотонно зростають (відповідно строго зростають) в (а; b).
Якщо функціяf(x)опукла в інтервалі(а; b),то вона неперервна в ньому.
Доведення. Із властивості 2 випливає, що f(x) в будь-якій точці с Î (а; b) має скінченні ліву та праву похідні:
тому
тобто
Отже, маємо неперервність функції f(x) у точці с.♦
5.5.5. Критерії опуклості та вгнутості
диференційовних функцій
Теорема 1. Для того щоб диференційовна в інтервалі(a; b)функціяf(x)була опуклою (вгнутою), необхідно і достатньо, щоб її похіднаf¢(x)у цьому інтервалі була монотонно зростаючою (монотонно спадною).
Дослідити функцію на опуклість.
● Маємо і похідну f¢(x) можна вважати і неспадною, і незростаючою. Тому функція f(x) опукла і вгнута не в строгому розумінні. ●
Знайти проміжки опуклості і вгнутості функції
.
● Оскільки , то задача зводиться до знаходження проміжків монотонності похідної f¢ (x). Скориставшись умовами монотонності, знайдемо, що , звідки робимо висновки, що для і для х < 0.
Отже, f¢(x) зростає на проміжку (0; + ¥) і спадає на проміжку (–¥; 0). Звідси функція f(x) строго опукла на проміжну (0; + ¥) і спадає на проміжку (–¥; 0).
Теорема 2. Нехай функціяf(x)двічі диференційовна на проміжку[a; b].
1) Для того щоб функціяf(x)була опуклою (вгнутою) на проміжку[a; b],необхідно і достатньо, щоб для будь-якого х Î[a; b].
Для того щобf(x)була строго опуклою (строго вгнутою) на проміжку[a; b], необхідно і достатньо, щоб виконувалась попередня умова і щоб, крім того, не існувало інтервалу (с; d)Ì[a; b],в якому .
Наслідок. Нехай функція f(x)двічі диференційовна на проміжку [a; b]. Якщо для всіх х Î [a; b], то f(x)строго опукла (строго вгнута) на [a; b].
У підрозділі 5.5.4 було дано означення опуклої, строго опуклої, вгнутої і строго вгнутої функцій незалежно від їх диференційовності. Проте, якщо функція f(x) диференційовна в інтервалі, то в основу означення можна покласти будь-які умови (критерії) її опуклості і вгнутості. Часто ж означення опуклості і вгнутості диференційовної функції пов’язують з характерним для неї розміщенням дотичних до графіків цих функцій. Як відомо, рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці х0 записується у вигляді
. (1)
Скажемо, що дотична (1) лежить не вище від графіка функції в інтервалі (a; b), якщо для всіх х Î (a; b) виконується умова
(2)
дотична (1) лежить нижче від графіка функції f(x) в інтервалі (a; b), якщо для всіх х Î (a; b), х ¹ х0, виконується умова
. (3)
Аналогічно визначається поняття «дотична лежить вище» і «дотична лежить не нижче» за допомогою заміни знаків у нерівностях (2) і (3) на протилежні. Справджується теорема.
Теорема 3. Для того щоб диференційовна функціяf(x)була опуклою (вгнутою) в інтервалі(a; b),необхідно і достатньо, щоб у будь-якій точці графіка функціїf(x)в інтервалі(a; b)дотична до графіка лежала не вище (не нижче) від графіка функції.
Теорема 4. Для того щоб диференційовна функціяf(x)була строго опуклою (строго вгнутою) в інтервалі(a; b),необхідно і достатньо, щоб у будь-якій точці графіка функціїf(x)в інтервалі(a; b)дотична до графіка лежала нижче (вище) графіка функціїf(x).
На підставі із цих теорем можна дати таке означення.
Означення. Диференційовна функція f(x) називається опуклою (вгнутою)в інтервалі (a; b), якщо в будь-якій точці графіка функції f(x) із інтервалу (a; b) дотична до графіка лежить не вище (не нижче) від графіка функції (рис. 5.27).
Означення. Диференційовна функція f(x) називається строго опуклою (строго вгнутою) в інтервалі (a; b), якщо в будь-якій точці графіка функції f(x) із інтервалу (a; b) дотична до графіка лежить нижче (вище) графіка функції f(x).
Геометрична ілюстрація
Рис. 5.27
Зауваження. У деяких підручниках розглядаються тільки строго опуклі і строго вгнуті диференційовні функції. Дослідження на опуклість і вгнутість зводиться до дослідження монотонності її похідної f¢(x). Якщо функція f(x) двічі диференційовна, то для дослідження f¢(x) на монотонність можна застосувати критерій для нестрогої і строгої монотонності функції на проміжку. При цьому графік строго опуклої функції f(x) називають кривою у = f(x), повернутою опуклістю вниз (або кривою, повернутою вгнутістю вгору), а графік строго вгнутої функції f(x) називають кривою у = f(x), повернутою вгнутістю (або кривою, повернутою опуклістю вгору).
Показати, що крива всюди вгнута догори.
● Маємо
За наслідком із теореми функція строго опукла в інтервалі (– ¥; + ¥), отже, крива скрізь вгнута догори.
Дослідити криву на напрямок вгнутості.
● Функція визначена в інтервалі (– 1; + ¥). У цьому інтервалі
і в точках х1 = 0 і .
Методом інтервалів знаходимо, що в інтервалі (–1; 0), в інтервалі і в інтервалі . За наслідком із теореми доходимо висновку, що в інтервалах (– 1; 0) і крива вгнута донизу, а в інтервалі вгнута вгору.
5.5.6. Точки перегину
Нехай функція f(x) диференційовна в інтервалі (а; b) за винятком, можливо, точки с Î (а; b), в якій вона неперервна і або не диференційовна, або має нескінченну похідну.
Означення. Точка с називається точкою перегину кривої
у = f(x), де х Î (а; b), якщо існує такий окіл точки с, в якому для
х < с крива у = f(x) опукла, а для х > с крива у = f(x) вгнута, або якщо для х < с крива у = f(x) вгнута, а для всіх х > с опукла.
Рис. 5.28
При цьому точку графіка (с; f(c)) також називають точкою перегину (рис. 5.28).
Геометрична інтерпретація. Точка с є точкою перегину кривої, якщо при переході через точку с крива у = f(x) має перегин, переходячи від опуклої до вгнутої, або навпаки. У самій же точці с функція f(x) або диференційовна, тобто крива у = f(x) має дотичну, не паралельну осі Оу, або неперервна (має дотичну, паралельну осі Оу).
Знайти точки перегину кривої .
· Маємо
.
Для х < 0 похідна у¢(х) є зростаючою, а для х > 0 — спадною. Звідси для х < 0 крива вгнута вгору, а для х > 0 вгнута вниз, в точці
х = 0 функція неперервна і має нескінченну похідну. Отже, точка х = 0 є точкою перегину. Інших точок перегину немає (рис. 5.29).
Рис. 5.29
5.5.7. Необхідна і достатня умови
існування точок перегину
Теорема 1 (необхідна умова). Нехай функціяf(x)двічі диференційовна в околі точкисі функціяf²(х)неперервна в точці с. Якщо точкасє точкою перегину кривої у = f(x)тодіf² (с) = 0.
Доведення. Проведемо доведення від супротивного. Нехай
f² (с) ¹ 0. Оскільки функція f² (х) неперервна в точці с і f² (с) ¹ 0, то існує окіл точки с, в якому f² (х) зберігає знак f² (с). За умовою функція f(x) у зазначеному околі буде або опуклою (якщо f² (с) > 0), або вгнутою (якщо f² (с) < 0) і точка х = с не буде точкою перегину кривої у = f(x). Здобута суперечність доводить теорему. ¨
Із означення точки перегину кривої у = f(x) та умов опуклих диференційовних функцій випливають такі достатні умови наявності точок перегину.
Теорема 2. Якщо функціяf(x)диференційовна в деякому околі точкисі для х < сцього околуf¢ (х)зростає, а для х > сспадає або, навпаки, для х < спохіднаf¢ (х)спадає, а для х > сзростає, то х = с буде точкою перегинуу = f(x).
Теорема 3. Якщо функціяf(x)двічі диференційовна в деякому околі точки с іf² (х) < 0длях < сцього околу,а f² (х) > 0длях > сабо, навпаки, f² (х) > 0для х < с, а f² (х) < 0длях > с,то точка сбуде точкою перегину кривої.
Знайдемо точки перегину кривої .
· Знайдемо першу та другу похідну функції:
; ,
, якщо ;
, якщо ;
, якщо .
Отже, точки є точками перегину
·
Рис. 5.30.
Теорема 4. Нехайf(x)в околі точкисмає похідні доn-го порядку включно, причому f(n)(х)неперервна в точці с,і
нехайf² (с) = f¢² (с) = … = f (n – 1)(с) = 0,алеf (n)(с) ¹ 0.Тоді,
якщо n ³ 3непарне, то точкасбуде точкою перегину кривої
у = f(x).
Знайти точки перегину кривої .
· Маємо
Оскільки , але , то за теоремою 4 х = 0 є точкою перегину. Інших точок перегину немає, оскільки для (не виконуються умови точок перегину).
ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
Дослідження функцій можна проводити за трьома рівнями.
1-й рівень. Дослідження функції з допомогою елементарних властивостей функції.
2-й рівень. Дослідження функцій за допомогою першої похідної.
3-й рівень. Дослідження функцій за допомогою похідних другого і вищих порядків.
5.6.1. Дослідження функцій
за допомогою елементарних властивостей
До елементарних властивостей (характеристик) функції відносимо такі поняття, як область визначення і значень функції, симетричність і парність, непарність, періодичність функції, монотонність.
Твердження, на підставі яких можна встановлювати парність, непарність, періодичність і монотонність функцій, а саме:
а) функція не є парною або непарною, якщо її область визначення не симетрична відносно нуля числової прямої;
б) функція f(x) не є парною або непарною, якщо корені рівняння f(x) = 0 не розміщені симетрично відносно нуля числової прямої;
в) нехай задано функції f(x) і j(x). Якщо функція f(j(x)) визначена на Е, а j(x) парна на Е, то і f(j(x)) парна на Е. Наприклад, функція f(x) = 4cosx парна на R.
г) строго монотонна функція не є періодичною;
д) якщо функції f(x) і j(x) одночасно або зростаючі, або спадні, f(j(x)) і j(x) визначені на Е, то f(j(x)) зростаюча на Е;
е) якщо функція f(x) зростаюча, а j(x) спадна або, навпаки, f(x) спадна, j(x) зростаюча, f(j(x)) і j(x) визначені на Е, то f(j(x)) спадна на Е. Наприклад, функція f(x) = 2x зростаюча на R, тому f(x) = 2cosx зростає на тих проміжках із R, де зростає cosx, і спадає там, де спадає cosx.
5.6.2. Ознака сталості
диференційовних функцій
Теорема 1. Нехай функціяf(x)неперервна на проміжку [a; b]і диференційовна в кожній його внутрішній точці. Для того щоб функціяf(x)була сталою на проміжку[a; b],необхідно і достатньо, аби для всіх .
Доведення. Необхідність. Оскільки за умовою , , то для всіх .
Достатність. Нехай тепер f(x) неперервна на проміжку [a; b] і для . Зафіксуємо точку . Візьмемо довільну точку , і застосуємо теорему Лагранжа до функції f(x) на проміжку [х0; х], якщо х0 < x або на проміжку [х; х0], якщо х < x0. В обох випадках
,
де с лежить між х0 і х. Оскільки , то і, отже, , або для хÎ[a; b], тобто f(x) — стала функція, яка дорівнює f(x0) на проміжку [a; b].
5.6.3. Зростання і спадання функції
в точці і на проміжку
Означення. Нехай функція f(x) визначена на проміжку (a; b) і х0Î(a; b). Кажуть, що f(x) зростає в точці x0, якщо існує окіл точки x0, в якому f(x) < f(x0) для х < x0, а для х > x0
f(x) > f(x0).
Аналогічно за означенням f(x) спадає в точці х0Î(a; b), якщо існує її окіл, в якому f(x) > f(x0) для х < x0, а f(x) < f(x0) для х > x0.
Теорема 2 (достатня ознака зростання і спадання функції в точці). Якщо функція f(x) диференційовна в точці х0Î(a; b) і f¢(x0) > 0 (f¢(x0) < 0), то f(x) зростає (спадає) в точці х0.
Доведення. Проведемо доведення для випадку, коли f¢ (x0) > 0. Оскільки , то існує окіл точки х0, в якому для х ¹ х0. Звідси випливає, що в цьому околі f(x) < f(x0) для х < x0, тобто f(x) зростає в точці x0. Аналогічно доводиться випадок, коли f¢(x0) < 0.