На тему: „ Розв’язання звичайних диференціальних рівнянь ”
Мета роботи: вивчення методів чисельного диференціювання та набуття навичок рішення задачі Коші за допомогою ЕТ Excel та МП MathCad.
Теоретичні відомості.
Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо невідома функція є функцією однієї змінної, і диференціальним рівнянням в частинних похідних, якщо невідома функція є функцією багатьох змінних.
Таким чином, звичайним диференціальним рівнянням називають рівняння виду:
, (38)
де x – незалежна змінна; y = y(x) – невідома функція; 
¾ відповідно похідні цієї функції порядку 1, 2,…,n.
Розв’язком диференціального рівняння (38) на деякому інтервалі (a;b) називається диференційована на цьому інтервалі функція y = y(x), яка при підстановці в рівняння (38) перетворює його в тотожність по x на (a;b).
Кожне диференціальне рівняння має безліч розв’язків . Щоб знайти частинний розв’язок рівняння необхідно, задати додаткові умови. Залежно від способу задання додаткових умов розрізняють два типи задач: задача Коші і крайова задача.
Якщо додаткові умови задаються в одній точці, то така задача називається задачею Коші, а ці умови ¾ початковими умовами.
Якщо додаткові умови задаються більш ніж в одній точці, то така задача називається крайовою задачею, а умови ¾ крайовими або граничними.
В лабораторній роботі набудемо навичок рішення задачі Коші.
Задача Коші полягає в тому, щоб знайти розв’язок y(x) звичайного диференціального рівняння першого порядку
, (39)
який задовольняє початкову умову
. (40)
З погляду геометрії розв’язати задачу Коші ¾ це означає виділити з множини інтегральних кривих (розв’язків) ту, яка проходить через задану точку 
.
Для розв’язання задачі Коші широко використовують чисельні методи, які дають наближений розв’язок диференціального рівняння у вигляді таблиці значень. В основі цих методів лежить покроковий принцип визначення шуканої функції. Найпоширенішими є методи Ейлера та Рунге – Кутта.
Метод Ейлера . При пошуку чисельного розв’язку задачі (39),(40) відрізок інтегрування [x0, b] розбивають на n рівних частин. Довжина кожної із утворених частин дорівнює 
. Точки розбиття будуть: 
, якщо відоме значення 
в точці 
.
Наближене значення 
в точці 
обчислюється за формулою:
(41)
Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге (правило подвоєння):
, (42)
де – значення розв’язку в точці 
, отримане за методом Ейлера з кроком h, 
- значення розв’язку в тій же точці x, але отримане з кроком рівним 2h.
Метод Рунге – Кутта. Метод Рунге – Кутта четвертого порядку дає рішення задачі Коші більш точне ніж в попередньому методі.
Відрізок інтегрування [x0, b] розбивається на n рівних частин. Довжина кожної із утворених частин дорівнює . Точки розбиття будуть: , якщо відоме значення в точці .
Наближене значення в точці обчислюється за формулами:
, (43)
де
Оцінка похибки здійснюється за принципом Рунге (правило подвоєння):
, (44)
де – значення розв’язку в точці , отримане за методом Рунге – Кутта з кроком h, - значення розв’язку в тій же точці x, але отримане з кроком рівним 2h.