Розв`язання показникових рівнянь зведенням до однієї основи

Схема розв`язання:

1. Перетворити ліву та праву частини рівняння до вигляду степеня з однією основною але з різними показниками.

,

2. Якщо рівні основи степеня , тоді рівні їх показники, тобто

Приклади. Розв`язати рівняння:

1) = 49 ; 2) ; 3) = 4) = 1

=7² =7^-1 = =7⁰

=

Відповідь : Відповідь: Відповідь: Відповідь:

5) 6)

Оскільки завжди Оскільки завжди

Відповідь : коренів не має Відповідь : коренів не має

7)

Поділимо обидві частини рівняння на вираз ( > 0).

Отримаємо:

Зверніть увагу!

;

Відповідь: 0

Зверніть увагу!

8)

2

Відповідь: 2.

Зверніть увагу!

9)

Відповідь:

Зверніть увагу!

10)

Відповідь:

Зверніть увагу!

11) (3,5

Відповідь: 1

12) (0,5 16 ; 13) ( ^-1 1 ;

; ;

2⁴ ; ;

; ;

. .

Відповідь 2 Відповідь: 2; 1.

Зверніть увагу! 0,125

14) 0,125 4;

2^-3 2² ;

2²

;

;

Відповідь:

2) Розв`язання показникових рівнянь за допомогою розкладанняоднієї з частин на множники (винесення степеня з найменшим показником, коефіцієнти показників цих степенів набувають однакових значень).

Схема розв`язання:

1) Звести всі степені до однієї основи.

2) Винести за дужки степінь із найменшим показником.

У такому випадку в дужках завжди утворюється числовий вираз

без змінної .

3) Перетворити рівняння до найпростішого показникового рівняння

та розв`язати його.

Приклади.

Розв`язати рівняння:

1)

За дужки винесемо степінь з найменшим показником

(7+4) 539; 1)

11 539 ; 2)

739:11

49;

7²;

;

Відповідь: 1.

2)

За дужки винесемо степінь з найменшим показником.

1) =1 2)

;

;

;

2²

;

Відповідь: 3

3) 704

За дужки винесемо степінь з найменшим показником.

(2³+2² 1) 704; 1) =2^х-4-(х-7) 2^х-4-х+7 2³

(8+4 1) 704 ; 2)

11 704 ; 3) 1

704:11 ;

64 ;

2⁶ ;

Відповідь: 13

3) Розв`язання показнкових рівнянь, що зводяться до квадратних рівнянь

Схема розв`язання:

1. Позбавитися числових доданків у показниках степенів.

2. Звести всі степені до однієї основи.

3. Зробити заміну змінної.

4. Розв`язати отримане рівняння.

5. Повертаючись до заміни , розв`язати найпростіше показникове

рівняння.

Приклади

Розв`язати рівняння:

1) 80. Зводимо степені до основи

2¹+ ; +2

Зробимо заміну змінної: ,

Маємо:

– не задовольняє умову

Повертаючись до заміни, маємо:

= 8

=2³

Відповідь: 3.

Зверніть увагу!

2) + ;

+ 5 0

Зробимо заміну змінної : , .

Маємо:

^;

Повертаючись до заміни, маємо:

1) 4 ; 2) 1

2²

Відповідь: 2; 0.

ОДЗ:

3)

Зробимо заміну змінної : ,

Маємо:

)²

t₁= не задовольняє умову

t_{2 =}

Повертаючись до заміни, маємо:

=4

=4¹

Відповідь: 1.

4) Розв`язання однорідних показникових рівнянь

Рівняння виду

=0, деА,В,С- числа називається однорідним показниковим рівнянням.