Исследование функции и построение её графика
Функция называется монотонно возрастающей в интервале хÎ(а,b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2>х1 следует неравенство > , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.
Функция называется монотонно убывающейна интервале хÎ(а,b), если для любых двух точек х1 и х2 этого интервала из неравенства х2>х1 следует неравенство < , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.
Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.
Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:если на интервале хÎ(а, b) производная сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно:
если , то монотонно возрастает;
если , то монотонно убывает.
Точка х0 называется точкой максимума функции , если существует такая двухсторонняя окрестность точки х0 , что для всякой точки х¹х0 этой окрестности выполняется неравенство . При этом число называется максимумомфункции .
Аналогично, если для всякой точки х¹х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство , то х0 называется точкой минимума, а число – минимумомфункции .
Экстремумамифункции называются ее максимумы и минимумы. Точками экстремума функции называются её точки максимума и минимума.
Понятие экстремума связано с наличием окрестности точки х0 из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения.
Необходимое условие экстремума:если непрерывная функция имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции .
Необходимое условие экстремума не является достаточным, т.е. точки, в которых или же не существует, необязательно являются точками экстремумов функции.
Достаточные условия экстремума:если при переходе через критическую точку х0 (слева направо) производная изменяет свой знак, то в точке х0 есть экстремум причем, это максимум, если знак меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х0 производная не изменяет свой знак, то в точке х0 нет экстремума функции .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Исследование функции и построение её графика. Стр.1
График функции называется выпуклым(или выпуклым вверх) на интервале xÎ(a;b), если он расположен ниже любой касательной, проведенной к графику на этом интервале.
График функции называется вогнутым (или выпуклым вниз) на интервале xÎ(a;b), если он расположен выше любой касательной, проведенной к графику на этом интервале.
Точка графика непрерывной функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости.
Например, при xÎ(a;х0) график выпуклый, при xÎ(х0;b) вогнутый, М0(х0;y0) – точка перегиба.
В точке перегиба касательная пересекает график (конечно, при условии, что касательная существует в этой точке).
Достаточное условие выпуклости, вогнутости:если функция является дважды дифференцируемой и ее сохраняет знак при всех xÎ(a;b), то график функции имеет постоянное направление выпуклости на этом интервале:
при <0 – выпуклость вверх,
при >0 – вогнутость (выпуклость вниз).
Необходимое условие для точки перегиба: если x0 – абсцисса точки перегиба графика функции , то или не существует.
Необходимое условие для точки перегиба не является достаточным. Точки, принадлежащие графику функции , в которых или не существует, называются подозрительными на перегиб или критическими точками функции по её второй производной.
Достаточное условие для точек перегиба:если вторая производная при переходе через точку х0, подозрительную на перегиб, изменяет знак, то точка графика с абсциссой х0 является точкой перегиба. Если не изменяет знак при переходе через точку х0, то перегиба нет.
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.
Для кривой, которая является графиком функции , различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Исследование функции и построение её графика. Стр.2
Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции , если выполняется хотя бы одно из условий: или , т.е. если значение х=а является точкой разрыва второго рода функции или границей ее области определения.
Прямая является наклонной (при k=0 горизонтальной) асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы
и . (1)
Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.
При практическом вычислении пределы (1) могут быть различными при х®+¥ и при х®–¥.
Полное исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме:
1) найти область определения функции, точки разрыва;
2) выяснить, не является ли функция чётной или нечётной, периодической;
3) найти точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства;
4) найти асимптоты графика функции;
5) исследовать монотонность функции и найти ее экстремумы;
6) найти точки перегиба, установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;
7) используя результаты исследования, построить график функции.