Лекция 20 Исследование функции и построение ее графика

ИКТИБ ИТА ЮФУ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

Лекция 20 Исследование функции и построение ее графика

План лекции

Остаточный член в формуле Тейлора. Условия монотонности функции. Экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на заданном отрезке. Направления выпуклости и точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

Напомним важнейшие разложения функций по формуле Тейлора (Маклорена) из прошлой лекции:

, (7) , (8)

, (9) . (12)

Формула (9) может быть получена непосредственно и из формулы (8) дифференцированием ее левой и правой частей.

И это не случайно. Не обязательно каждый раз вычислять все производные исследуемой функции.

Пример 1(6). Напишите формулу Тейлора для функции в точке (формулу Маклорена для функции ).

Решение. Искомую формулу мы получим, заменив в формуле (7) аргумент на аргумент . Учитывая, что , мы приходим к искомой формуле . (10)

Сопоставляя формулы (7), (8), (9), (10), мы приходим к формуле Эйлера , (11) которая упоминалась в лекции 1. Полностью формула Эйлера будет доказана, когда будет установлено, что в формулах (7), (8), (9) остаточные члены с ростом стремятся к 0 при всех значениях аргумента.

Пример 2(7). Напишите формулу Тейлора для функции в точке (формулу Маклорена для функции ).

Решение. Если , то , , , , …, ( ). Следовательно, искомая формула принимает вид . (12)

Неотъемлемой частью использования формулы Тейлора является оценка ее остаточного члена. Красивые и практичные формулы появлялись в работах выдающихся математиков 18, 19 и да в 20 веках. Отметим некоторые результаты без доказательства.

Теорема 1(5). (Теорема Лагранжа) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка. Тогда для произвольной точки из этой окрестности найдется точка , принадлежащая интервалу, соединяющую точки и , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение , (13)

Теорема 2(6). (Теорема Коши) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка. Тогда для произвольной точки из этой окрестности найдется точка , принадлежащая интервалу, соединяющую точки и , обладающую тем свойством, что в формуле (5) выполнено соотношение , (14)

Теорема 3(5). (Теорема Пеано) Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производную -го порядка. Тогда в формуле (5) выполнено соотношение , (15)

Так как производные функции равны между собой и ограничены на любом фиксированном отрезке , то остаточный член в формуле стремится к нулю при для каждого фиксированного .

Тем более то же самое справедливо для функций и , так как производные этих функций не превосходят по модулю 1. В формулах и остаточный член стремится к нулю при для каждого .

Можно доказать, что в формуле остаточный член стремится к нулю при для каждого . Посмотрите, как выглядит эта формула при .