Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

Лекция 23. Распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределения непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются, например, законы равномерного, нормального и показательного распределений.

Равномерное распределение.

Определение 23.1. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , если на интервале , которому принадлежат все возможные значения , плотность сохраняет постоянное значение: , вне этого интервала .

Приведем пример равномерно распределенной случайной величины.

Пример 23.1. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых единицах. Ошибку при округлении отсчета до ближайшего целого деления можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми делениями. Таким образом, имеет равномерное распределение.

Решение. Найдем плотность равномерного распределения , считая, что все возможные значения СВ заключены в интервале , на котором функция сохраняет постоянные значения.

По условию, не принимает значений вне интервала , поэтому при и .

Найдем постоянную . Так как все возможные значения СВ принадлежат интервалу , то должно выполняться соотношение или .

Откуда: .

Итак, искомая плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

График плотности равномерного распределения изображен на рисунке 23.1.

Нормальное распределение.

Определение 23.2. Нормальным называют распределение вероятностей НСВ, которое описывается плотностью

. (23.1)

Так как нормальное распределение определяется двумя параметрами: и , то достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. При этом вероятностный смысл этих параметров таков: есть математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.

Замечание 1.Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами и . Нормированным называют распределение с параметрами и , при этом плотность нормированного распределения имеет вид: .

Замечание 2.Функция общего нормального распределения имеет вид:

,

а функция нормированного распределения .

Замечание 3.Вероятность попадания нормированной нормальной величины в интервал можно найти, пользуясь функцией Лапласа Ф (§ 20.12). Действительно,

Ф .

Отметим также, что Ф .

Замечание 4.Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу равна:

Ф – Ф . (23.2)

Нормальная кривая.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). При этом:

1) функция определена на всей оси ;

2) при всех значениях функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью ;

3) ось служит горизонтальной асимптотой графика функции, т.к. ;

4) функция имеет максимум, равный ;

5) график функции симметричен относительно прямой , т.к. разность содержится в аналитическом выражении функции в квадрате;

6) точки графика и являются точками перегиба.

Нормальная кривая при и изображена на рисунке 23.2.

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

Выясним, как влияют на форму и расположение нормальной кривой значения параметров и .

Известно, что графики функций и имеют одинаковую форму; сдвинув график в положительном направлении оси на единиц масштаба при или в отрицательном направлении при , получим график . Отсюда следует, что изменение величины параметра (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси : вправо, если возрастает, и влево, если убывает.

По-иному обстоит дело, если изменяется параметр (среднее квадратическое отклонение). Как уже было указано, максимум функции нормального распределения равен . Отсюда следует, что с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси .

Заметим, что при и нормальную кривую называют нормированной.