Интервальные оценки параметров нормального распределения

1) Доверительный интервал для математического ожидания при известной s².

Случайная величина х имеет нормальное распределение N(а; s), причём а – неизвестно, s² – известно. Эффективной оценкой для неизвестного математического ожидания а является выборочное среднее , которое имеет нормальное распределение: N(а; ).

Следовательно, статистика Z= имеет нормальное распределение N(0; 1), не зависит от параметра а, непрерывна и строго монотонна.

С учётом симметрии нормального распределения

Р(- U_a < Z < U_a) = 1 - a

для данного уровня значимости a:

- U_a< <U_a или -U_a <а< +U_a

где U_a находят из таблиц функции Лапласа Ф(U_a)= .

Точность оценки e =U_a .

2) Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной s².

Итак, случайная величина х ~ N(а; s), причём а и s² – неизвестны.

Эффективной оценкой для а будет , для s²–S²= .

Статистика t(n–1)= имеет распределение Стьюдента с (п–1) степенями свободы.

С учётом симметрии, имеем

P(- t_a < t < t_a) = 1 - a или - t_a < < t_a

Окончательно имеем доверительный интервал:

- t_a < а < + t_a .

Точность интервальной оценки определяется формулой

e = t_a ,

где t_aº t_g(f)º t_g(n–1) – коэффициент Стьюдента из таблиц.

При одном и том же g с увеличением числа степеней свободы n–1 доверительный интервал уменьшается, приближаясь к нормальному.

При n – 1 = const с увеличением g доверительный интервал увеличивается.

Рис.:

3)Доверительный интервал для дисперсии s² при известном а.

Эффективная оценка для s² при неизвестном математическом ожидании а является:

S² =

Используется статистика:

c²(п) =

Надёжность оценки:

Р( < c² < ) = 1 - a

Критические границы - находят из таблиц при ; - находят при 1- с числом степеней свободы п, т.к. распределение c² не является симметричным.

Таким образом, доверительный интервал для этого случая:

< <

Решив это неравенство относительно s², получим

< s² <

Из этой интервальной оценки легко получить оценку для среднеквадратического отклонения:

<s <

4)Доверительный интервал для дисперсии s² при неизвестном а.

Эффективной оценкой для а является , для дисперсии s² является:

S² = - исправленная выборочная дисперсия.

Используется статистика: c²(п - 1) = .

Аналогично пункту 3 данного параграфа имеем:

Р = 1 - a

где - находят при ; - находят при 1- для c² с числом степеней свободы п-1.

Аналогично находится доверительный интервал для среднеквадратического отклонения s.

5)Доверительный интервал для генеральной доли (вероятности р).

При большом п и при отсутствии нормального распределения величины х, в силу центральной предельной теоремы, случайная величина:

Z =

приближённо имеет нормальное распределение N(0; 1).

Если х = т / п – относительная частота успеха, s² = п р q, а = р, то

Z = =

Используя симметрию нормального закона, имеем:

< U_a, где Ф(U_a) = 1 -

или окончательно

- U_a < Р < + U_a

Р* - U_a < Р < Р* + U_a

При небольшом числе испытаний формула для доверительной вероятности для доли усложняется:

Р_в,н =

где п – число испытаний, т – число одной из групп, Ф(U_a) = -функция Лапласа.

Таким образом, доверительный интервал для генеральной доли определяется неравенством Р_н < Р < Р_в