Предел числовой последовательности

Определение предела последовательности

Последовательность называется отображение

f:N->A (в любое множество), A⊂R то последовательность называется числовой.

a_n – элемент числовой последовательности

{a_n} - элемент числовой последовательности

Числовая последовательность может быть задана перечислением.

A – конечно:

a₁=1, a₂=1, …, a_n=1

любо формулой его общего члена

a_n= , a₁=1, a₂= , …, a_n= .

Определение предела числовой последовательности.

Число a называется пределом числовой последовательности {a_n}, если _n <

a=(равно по определению) = _n

Пример

a_n= ; _n=0 (a=0)

a_n =| , n>

N=[ ]+1

Если последовательность имеет предел, то называется сходящаяся, в противном случае расходящаяся.

При отрицании какого-нибудь высказывания кванта всеобщности меняется.

Запишем, что число a не является пределом последовательности

(a<>lima_n)( =>|a_n-a|

a_n=(-1)ⁿ:-1;1;-1;1; …

–окрестностей числа a называется такой интервал (a- ,a+ )

Ʊ(a, ) окрестностей.

Число a является пределом числовой последовательности любая ее Ʊ(a, ) содержит все члены этой последовательности за исключением, быть может, конечного числа.

Общее свойство пределов

1)Теорема!!! Сходящаяся последовательность имеет только один предел

Док-во:

Предположим противное(ПП)

, ; ,

,

Ʊ( ⋂ Ʊ( <> ∅

, ч.т.д

2) Элементы сходящихся последовательности являются ограниченным множеством.

Док-во:

Например

A{a_N+1, a_N+2, …} ⊂ (a-1, a+1)

B={a₁, a₂, …, a_N}

A∪B –огран. чтд

3) b>a => =>

чтд c<a => =>

4) =>

5)

6)

Бесконечно малые (большие) последовательности

Определение.

Последовательность {a_n} называется бесконечно малой, если существует

{b_n} (b_n<>0) называется бесконечно большой, если { } является бесконечно малой.

Определение:

{x_n}, {y_n} то их суммой, разностью, произведением, отношением называют соответсветствующие {x_n+y_n}, { x_n-y_n }, { x_ny_n }, { x_n/y_n } (y_n<>0)

Теорема!!! { _n} –бм { _n} – бм, тогда их сумма, разность и произведение является бм последовательностью.

Арифметические свойства последовательности

Теорема!!!

Док-во:

{x_n} – бм

Теорема!!!

1) ,

2) ,

3)

Док-во:2)

Монотонные последовательности

Определение.

{a_n} называется монотонно возрастающей (убывающей), если

a_n<a_n+1 (a_n>a_n+1)

Определение.

{a_n} называется монотонно не возрастающей (не убывающей), если a_n a_n+1 (a_n a_n+1)

Какие последовательности называются

Теорема!!! Монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Утверждение теоремы следует из существования точной грани, для ограничения множеств.

Определение

{a_n} имеет предел

Теорема!!! Неубывающая (не возрастающая) неограниченная последовательность имеет предел

Число Эйлера

Теорема!!!

Фундаментальная последовательность

Теорема!!!(Коши)

Для того чтобы последовательность имела предел необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Предел функции. Определение предела по Гейне и Коши

Пусть f(x) определена в некоторой (трактованной) проколотой окрестности

(x₀)={x:D<|x-x₀|<δ(дельта)}

Определение 1. (Гейне) Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀ если ( {x_n}) такой, что

{ =x₀, x_n<>x₀} => =a

Определение 2 (Каши). Число a является пределом функции f(x) в точке x₀, если ( >0) ( )

( x:0<|x-x₀|< óx (x₀, )) => (|f(x)-a|< ó f(x) (a,

Теорема!!! Определение по Гайне и Коши

Односторонние пределы

Пусть f(x) определена на интервале (x₀-c,x₀)

Определение. Число a называется пределом функции f(x) в точке x₀ при x -> x₀ слева (левосторонний предел) если,

Гейне) ( {x_n}), x_n->x₀

(x_n<x₀)

Коши) ( )( )

( x:0<x₀-x< => |f(x)-a|<

Аналогично вводится правосторонний предел. (Упражнение. Составить определение правостороннего предела)

Теорема!!! Определение односторонних пределов по Гейне и Коши эквивалентны.

Теорема!!! Для того чтобы существовал f(x) в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой односторонние пределы.

Обозначение

a= (левосторонний предел)

a= =f(x₀-0) (левосторонний предел)

a= =f(x₀+0) (Правосторонний предел)

Пример

Основные свойства функции, имеющие предел в точке

1. Если предел существует, то он единственный

2. Если предел существует, то функция ограничена в некоторой окрестности этой точки.

3. , b<a (b>a), то ( (x₀))( ₀)) => f(x)>b (f(x)<b))

4. =a и ( ₀))(f(x) => a

5. ₀))

( = =a)

6. Предел сложной функции

Пусть а(ч) определена ₀) и =y₀ , x Ʊ(x₀) f(x) <>y₀

F(y) (y₀) =>

Теорема!!!

Предел форм и арифметические операции

1.

2.

3. , b<>0

Следствие

Бесконечно большие и бесконечно малые функции

является бесконечно мало в x₀ (x->x₀)

– бесконечно мало (б. м.) (x->x₀)

Теорема!!! a= óf(x)-a – бм (x->x₀)

f(x)в точке х₀ равен если

Гейне) ( x_n)(x_n -> x₀; x_n<>x₀) => f(x₀) ->

Коши) ( ( (x₀, => |f(x)|>M, f(x)>M,

f(x)<(-M)

f(x) – бб (x->x₀)

Замечание. Все эти свойства сформулированы для конечной точки x₀

Упражнение. Сформулировать эти определения x₀=

Теорема!!! Для того чтобы существовал предел при необходимо и достаточно ó (

( x₀, |f(x’)-f(x’’)|<

Предел монотонной функции

f(x) определен на интервале a,b называется

1) x₁<x₂ => f(x₁)<f(x₂)

2) x₁ x₂ => f(x₁) f(x₂)

3) x₁>x₂ => f(x₁)>f(x₂)

4) x₁ x₂ => f(x₁) f(x₂)

Теорема!!! f(x) является монотонной на интервале (a,b) и ограниченной, т. е. |f(x)| k, (

Тогда ₀, ₀+0) и ₀-0)

Неопределенность

При рассмотрении бб и бм последовательностей могут возникать следующие неопределенности

Если он существует, то нахождения называются раскрытием.

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Сравнение функций

f(x) и g(x) определены ₀)

₀)

1)|f(x)|<c|g(x)| (c>0)

f(x)=0(g(x)), x ₀)

2)f, g – бм x->x₀

f(x)=0(g(x)), x->x₀

Пример x³=0(x²), x->0