Предел числовой последовательности

Определение 1: Число а называется пределом числовой последовательностью {хn}, если для любого положительного числа e существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство |xn-a|<e. Последовательность {хn} – называется сходящейся. Предел числовой последовательности - student2.ru .

Определение 2: Последовательность {хn} не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Из определения 1 предела следует, что каким бы малым мы ни взяли число e>0, начиная с некоторого номера N все элементы последовательности будут отличаться от числа а меньше, чем на e, то есть элементы последовательности неограниченно приближаются к числу а при неограниченном возрастании номера n.

Определение 3: Число а не является пределом числовой последовательности {хn}, если существует положительное число e, что для любого номера N найдётся номер n>N такой, что выполняется неравенство |xn-a|³e.

Из |xn-a|<e Þ -e<xn-a<e Þ а-e<xn<а+e, то есть элемент xn находится в e-окрестности точки а.

Следствие 1: Пусть {хn} сходится и имеет своим пределом некоторое число а.

Тогда разность {хn-а}={an} является бесконечно малой последовательностью, так как для любого e>0 существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство |xn-a|=|an|<e.

Следствие 2: Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом 0.

Следствие 3: Любой элемент xn сходящейся последовательности, имеющей пределом число а можно представить в виде: xn=а+an, где an элемент бесконечно малой последовательности {an}. Справедливо и обратное.

Определение 4: Число а называется пределом числовой последовательностью {хn}, если для любой e-окрестности точки а существует номер N такой, что все элементы xn с номерами n>N находятся в этой e-окрестности.

Бесконечно большие последовательности имеют бесконечный предел Предел числовой последовательности - student2.ru .

Лекция 7

Предел функции

Основные теоремы о пределах

Два замечательных предела

Предел функции.

Определение 1 (по Гейне): Число А называется пределом функции f(х) в точке х=х0, если для любой сходящейся к х0 последовательности значений аргумента х, отличных от x0 соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А Предел числовой последовательности - student2.ru .

Функция может иметь в точке только один предел.

Определение 2 (по Коши): Число А называется пределом функции f(х) в точке х=х0, если для любого числа e>0 существует число d>0, такое, что для всех хÎХ, х¹х0, удовлетворяющих неравенству |x-х0|<d, выполняется неравенство |f(x)-A|<e.

Теорема 1: Оба определения предела функции эквивалентны.

Определение 3 (по Гейне): Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке х=х0, если для любой сходящейся к х0 последовательности значений аргумента элементы которой хn больше (меньше) х0, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А Предел числовой последовательности - student2.ru . Определения односторонних пределов.

Определение 4 (по Коши): Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке х=х0, если для любого числа e>0 существует число d>0, такое, что для всех хÎХ, х¹х0, удовлетворяющих неравенству х0<x<х0+d (х0+d<x<х0), выполняется неравенство |f(x)-A|<e. Определения односторонних пределов.

Теорема 2: Функция f(х) имеет в точке х=х0 предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый, так и левый пределы и они равны.

Определение 5: Число А называется пределом функции f(х) при х®+¥ (х®-¥), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы хn которой положительны (отрицательны) соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А Предел числовой последовательности - student2.ru .

Если пределы функции при х®+¥ и при х®-¥ равны Предел числовой последовательности - student2.ru , то пишут Предел числовой последовательности - student2.ru

Наши рекомендации