Предел числовой последовательности
Опр.: Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число an, то говорят, что задана числовая последовательность 
– элементы числовой последовательности.
– общий член или n-ый член.
Рассмотрим 
Опр.: Число А называется пределом числовой последовательности 
, если 
найдется такой номер N (зависящий от 
, что для всех элементов последовательности с номерами n > N верно неравенство: 
 | |||
 | |||
0 
1
Геометрический смысл: Число A – есть 
, если 
все члены 
будут заключены в ε-окрестность точки А, какой бы узкой она не была. Вне этой окрестности – только конечное число членов .
Опр.: Последовательность называется сходящейся если существует конечный предел этой последовательности, в противном случае последовательность называется расходящейся.
Предел функции в бесконечности и в точке
Опр.: Число А называется пределом функции 
при х сходящемся к а, если 
найдется такое 
, что при 
выполняется 
.
Обозначение: 
 |
В определении не требуется, чтобы функция была определена и в предельной точке, но она должна быть определена в какой-либо окрестности предельной точки (за вычетом самой предельной точки).
Опр.: Если 
и 
, то пишут 
; если и 
, то пишут 
. Соответствующие пределы:
и 
называются левосторонними и правосторонними пределами функции в точке а.
Для существования двухстороннего предела функции 
что существовали и и они совпадали.
Если функция является элементарной и ее предельные значения аргумента (а) принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к подстановке предельного значения аргумента, т.е.
если 
Опр.: Число В называется пределом функции в ∞, если 
найдется такое число S, что 
выполняется неравенство 
.
Основные теоремы о пределах
Бесконечно большая величина – переменная, предел которой равен + ∞ или
– ∞.
Бесконечно малая величина – переменная, предел которой равен 0.
Свойства:
1. 
и 
2. Если а и b – б.м.в., то
3. Если а и b – б.б.в., то
Теорема 1: Предел постоянной равен самой этой постоянной, т.к. если
Теорема 2: Пусть существует 
, тогда
1) 
2) 
3) Если В ≠ 0, то 
Лемма («о двух милиционерах»)
Если функции 
удовлетворяют условию 
и если 
, то 
.
Примеры: вычисления пределов и раскрытие неопределенностей
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Замечательные пределы
Первый замечательный предел 
Доказательство:
 | ||||
 | ||||
 | ||||
по лемме о двух милиционерах:
Второй замечательный предел 
Функция 
называется бесконечно малой функцией при 
, если
Если и 
– б.м.ф., то
1) 
2) 
3) произведение б.м.ф. на ограниченную функцию есть б.м.ф.
Бесконечно большая функция 
Опр.: Две функции 
и 
называются эквивалентными при 
, если 
обозначается 
∼
Пример:
при 
Непрерывность функции
Опр.: Функция называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и 
 |
Функция называется непрерывной слева (справа) в точке 
, если она определена в некоторой окрестности слева (справа) от точки и
Опр.: Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Опр.: Точки, в которых, функция не является непрерывной называются точками разрыва.
Классификация точек разрыва
1.
Если
 |
т.е.
 |
но
(если в точке функция не определена)
то – точка устранимого разрыва I-го разряда.
Пример:
при 
функция неопределенна.
т.о. – точка устраняемого разрыва 1-го рода.
Доопределив функцию в токе , получим:
Новая функция будет уже непрерывна в точке .
2.
 | ||||||||
 | ||||||||
 | ||||||||
| | ||||||||
 |  | |||||||
то – точка конечного разрыва I-го рода. 
Опр.: Скачком функции в точке разрыва I-го рода называется величина:
Пример:
при 
в точке разрыв I рода.
3.Все остальные – точки разрыва II рода.
 |  |  | |||
Пример:
при функция неопределенна
Т.к. односторонние пределы (достаточно было бы одного) бесконечны, то – точка разрыва II-го рода.
Примеры вычисления замечательных приделов:
1. 
т.к. 
2. 
3. 
т.к. 
при 