Вычисление пределов функций

Задачи и решения

Использование определения предела числовой последовательности для доказательства утверждений, связанных с пределами

Задача 3.1.Доказать, что

Решение

Шаг 1. По определению число будет пределом последовательности с общим членом , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется целое неотрицательное число , такое, что для всех членов последовательности , номера которых , выполняется неравенство

Шаг 2. Решим это неравенство относительно п:

Если то и в качестве можно взять целую часть числа то есть Если то и требуемое неравенство выполняется для любого значения

Задачи и решения 81

Таким образом, для любого сколь угодно малого положительного числа существует целое неотрицательное число

такое, что все члены последовательности , номера которых удовлетворяют неравенству

По определению это означает, что

Задача 3.2.Доказать, что последовательность с общим членом являтся бесконечно малой.

Решение

Шаг 1. Согласно определению, последовательность будет бесконечно малой, если для любого положительного числа найдется натуральное число , такое, что все члены последовательности с номерами удовлетворяют неравенству

Шаг 2. Определим, начиная с какого значения п выполняется последнее неравенство.

Так как то из условия тем более будет следовать, что Поскольку то Итак, если то то есть что соответствует определению бесконечно малой последовательности.

Задача 3.3. Показать, что последовательность с общим членом является бесконечно большой.

Решение

Шаг 1. Последовательность является бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого положительного числа Е найдется такое натуральное число , что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство

82 Глава 3. Введение в анализ

Шаг 2. Определим, для каких п справедливо последнее неравенство. Имеем

Таким образом, для любого сколь угодно большого положительного числа найдется натуральное число , такое, что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство то есть последовательность с общим членом является бесконечно большой.

Техника вычисления пределов числовых последовательностей

Задача 3.4. Вычислить

Решение

Шаг 1. При числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают, поэтому имеет место неопределенность вида

Шаг 2. В данном случае общий член последовательности представляет собой дробно-рациональную функцию натурального аргумента п. Для таких функций неопределенность можно раскрыть, если разделить числитель и знаменатель дроби на , где k — наибольший из показателей степеней п, входящих в данное выражение. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби на п³.

Получим:

.

Ответ:

Задача 3.5.Вычислить

Решение

Шаг 1. Для того чтобы избавиться от факториалов, входящих в заданное выражение, выразим их через , то есть через факториал меньшего из чисел.

Задачи и решения 83

Имеем

.

Шаг 2. Разделив числитель и знаменатель на , получим предел дробно-рациональной функции:

Ответ: 3.

Задача 3.6. Вычислить предел иррациональной последовательности

.

Решение

В этом случае предел вычисляется по тому же правилу, что и предел дробно-рациональной функции.

Шаг 1. Находим старшие степени числителя и знаменателя — это п².

Шаг 2. Разделив числитель и знаменатель на п², получим:

Ответ:

Задача 3.7. Вычислить

Решение

Шаг 1. Каждая из последовательностей , , при является бесконечно большой последовательностью. Скорость стремления к будет тем больше, чем больше основание степени. Таким образом, среди последовательностей , , с «наибольшей скоростью» стремится к последовательность .

84 Глава 3. Введение в анализ

Шаг 2. Разделим числитель и знаменатель на , тогда

Ответ: 3.

Задача 3.8. Вычислить

Решение

Шаг 1. В этом случае при получаем неопределенность вида , которую можно привести к неопределенности вида умножением и делением на выражение, сопряженное данному.

Шаг 2. Таким образом,

Ответ:

Задача 3.9.Вычислить

Решение

Так же, как и в предыдущей задаче, имеем неопределенность вида . Умножая и деля данное выражение на неполный квадрат разности, получим:

Задачи и решения 85

Ответ: 0.

Задача 3.10. Вычислить предел показательно-степенной числовой последовательности

.

Решение

Так как а имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности нужно воспользоваться замечательным пределом где — бесконечно малая последовательность. Поэтому алгоритм решения этой задачи состоит из трех шагов.

Шаг 1. Числовую последовательность нужно представить в виде где — бесконечно малая последовательность.

Шаг 2. В показателе степени отделить сомножитель вида .

Шаг 3. На основании формулы вычислить заданный предел.

Таким образом, имеем:

Ответ: .

Задача 3.11. Вычислить

Решение

Так же, как и в предыдущей задаче, имеем неопределенность вида Раскрываем эту неопределенность, пользуясь алгоритмом, полученным при решении задачи 3.10:

86 Глава 3. Введение в анализ

Ответ:

Вычисление пределов функций

3адача 3.12. Вычислить предел функции .

Решение

Шаг 1. При подстановке вместо переменной x ее предельного значения 3 получаем неопределенность вида

Шаг 2. Чтобы избавиться от такой неопределенности, представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей по формуле , где и – корни квадратного трехчлена :

Итак, .

Ответ:

Задача 3.13. Вычислить предел функции

Решение

Шаг 1. При подстановке вместо переменной x ее предельного значения получаем неопределенность вида .

Шаг 2. Избавиться от такой неопределенности можно вынесением за скобки дроби старшей степени переменной в числителе и знаменателе:

Задачи и решения 87

Итак,

Ответ:

Задача 3.14. Вычислить предел функции

Решение

Шаг 1. При подстановке вместо переменной x ее предельного значения получаем неопределенность вида .

Шаг 2. Разложим на множители квадратный трехчлен :

;

.

Шаг 3. Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:

88 Глава 3. Введение в анализ

Итак,

Ответ: