Вычисление пределов непрерывных, рациональных и некоторых иррациональных функций.

Определение 1.Число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любого числа существует число (зависящее от ), такое, что для любого , удовлетворяющего условию , выполнено неравенство

.

Пишем: . Говорим: Предел при , стремящемся к " ", равен " " (или: стремится к " " при , стремящемся к " ").

Определение 2. Число называется пределом функции при , если для любого числа существует число (зависящее от ), такое, что для всех , удовлетворяющих условию

,

выполнено неравенство

.

Пишем: (или , ).

Некоторые свойства пределов.

1) ;

2) ;

3) ( – константа);

4) , ;

5) ;

6)

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена при ; 2) существует ; 3) .

Теорема. Все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения.

Далее мы рассмотрим ряд стандартных пределов (непрерывной, рациональной, иррациональных функций) и сформулируем правила их вычисления.

Вычисление пределов вида , где –

функция, непрерывная в точке а.

Правило: Воспользоваться формулой:

.

Примеры:

1) ;

2) ;

Вычисление пределов вида , где –

многочлены (неопределенность вида ).

Правило:

Замечание.Функция , где –многочлены, называется рациональной.

Примеры:

3) ;

4) ;

5) .

Вычисление пределов вида , где – многочлены, причем

(неопределенность вида ).

Правило.В этом случае надо сократить числитель и знаменатель на один или несколько раз.

Пример:

6) .

Замечания.

а)Если или , то предел находим непосредственно.

Примеры:

7) ;

8) ;

9) .

б)Задачи такого типа составляются и решаются следующим образом. Берем любые числа :

.

Вычисление пределов некоторых иррациональных

Функций.

Правило 1. Ввести новую переменную " " так, чтобы можно было извлечь все корни, содержащиеся в функции (обычно функция содержит более одного корня; эти корни – разной степени).

Пример.

10) .

Мы сделали замену: ; при .

Правило 2. Перевести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот.

Пример.

11)

.

Умножили числитель и знаменатель на выражение , сопряженное числителю. В результате преобразований корни из числителя "исчезли", но появились в знаменателе.

Замечание. Задачи такого типа составляются и решаются следующим образом. Берем любые числа и :

В случае примера 11: .

Правило 3. Разделить числитель и знаменатель на " " в наивысшей степени, встречающейся в функции (возможно, после некоторых преобразований функции). Обычно в этих случаях .

Пример.

12) .

Задачи для самостоятельного решения

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .

Ответы:

1)1; 2) ; 3) 0; 4) -2; 5) ; 6) 4; 7) ; 8) ; 9) 3;

10) ; 11) ; 12) 1; 13) ; 14) 2; 15) .

Занятие 4.

Первый и второй замечательные пределы.

Вычисление пределов вида .