Формула полной вероятности

Теорема.Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁,В₂,….,В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р (А)=Р(В₁)Р_в1(А)+Р(В₂)Р_в2(А)+…Р(В_n)P_вn(A).

Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго- 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора)- стандартная.

Решение. Событие «извлеченная деталь стандартна»- А. Деталь, может быть извлечена либо из первого набора (событие В₁) , либо из второго (В₂).

Р (В₁)= 1/2.

Р (В₂)=1/2.

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, Р_в1(А)=0,8. Из второго набора - Р_в2(А)=0,9.

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь - стандартная, по формуле полной вероятности равна

Р(А)=Р(В₁) Р_в1(А)+ Р(В₂) Р_в2(А)= 0,5∙0,8+0,5∙0,9= 0,85.

Задача

В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых на удачу деталей 4 стандартных?

Число сочетаний из 10 элементов по 6 элементов равно:

С = 10!/6! ∙(10-6)!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10/1∙2∙3∙4∙5∙6∙1∙2∙3∙4=210.

Определим число исходов, благоприятствующих интересующемуся нас событию А( среди 6 взятых деталей 4 стандартных). 4 станд. детали можно взять из7стан. деталей:

С = 7!/4!(7-4)!= 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7/1∙2∙3∙4∙1∙2∙3= 35.

При этом остальные 6-4 =2 детали должны быть нестандартными. Взять же 2 нестанд. детали из 10-7=3нест. деталей можно следующим способом:

С = 3!/2!(3-2)!= 1∙2∙3/1∙2=3.

Число благоприятствующих исходов равно С₇∙ С_3.

Р(А)= (С )/ С = 35∙3/210=0,5.

Задачи

1. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной?

2. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5?

3. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом?

4. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

5. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара?

6. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы 1 стандартная.

7. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

8. По статическим данным ремонтной мастерской, в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10-для смены резца;3-из-за неисправности привода;2- из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам. Найти вероятность остановки станка по другим причинам.

9. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике-8, во втором- 7 и в третьем-9 стандартных деталей. Из каждого ящика на- удачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

10. В двух ящиках находятся детали: в первом- 10(из них 3 стандартные), во втором- 15( из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

11. Предприятие изготавливает 95% изделий стандартных, причем из них 86% - первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.

12. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке- 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

13.У сборщика имеется 16 деталей, изготовленные заводом №1, и 4 детали завода №2. Наудачу взяты 2 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленная заводом №1.