Формула полной вероятности. Формула Байеса

4) Имеются три одинаковые с виду урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй 9 белых и 6 черных шаров; в третьей только черные шары. Из наугад выбранной урны достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный.

Решение

Событие A – достали черный шар. Событие A может произойти с одним из несовместных событий (гипотез):

H1 – шар достали из первой урны;

H2 – шар достали из второй урны;

H3 – шар достали из третьей урны.

Так как урны с виду одинаковы, то:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Найдем условные вероятности события A для каждой гипотезы.

Черный шар достали из первой урны:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Аналогично:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

По формуле полной вероятности:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Ответ: Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

5) Имеются две урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй урне 9 белых и 6 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны достают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет черным.

Решение

Событие A – из второй урны достали черный шар. Событие A может произойти с одним из несовместных событий (гипотез):

H1 – из первой урны во вторую переложили белый шар;

H2 – из первой урны во вторую переложили черный шар.

Вероятности гипотез:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Найдем условные вероятности события A. Если из первой урны во вторую переложили белый шар, то во второй урне стало 10 белых и 6 черных шаров. Значит, вероятность достать из нее черный шар равна:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Аналогично:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

По формуле полной вероятности:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Ответ: Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

6) Имеются три урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй 9 белых и 6 черных шаров; в третьей урне 15 черных шаров (белых шаров нет). Из наугад выбранной урны достали один шар. Этот шар оказался черным. Найти вероятность того, что шар достали из второй урны.

Решение

Событие A – из наугад выбранной урны достали один шар.

Событие A может произойти с одним из несовместных событий (гипотез):

H1 – шар достали из первой урны;

H2 – шар достали из второй урны;

H3 – шар достали из третьей урны.

Априорные вероятности гипотез равны:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

В задаче 4 найдены условные вероятности события A и его полная вероятность:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Найдем по формуле Байеса апостериорную вероятность гипотезы H2.

Черный шар достали из второй урны:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Сравним Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru и Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru :

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Таким образом, если известно, что достали черный шар, то вероятность того, что его достали из второй урны уменьшается (это соответствует условию – во второй урне меньше всего черных шаров).

Ответ: Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru .

Формула Бернулли

7) В семье шесть детей. Вероятность рождения девочки равна 0,49. Найти вероятность того, что среди этих детей одна девочка.

Решение

Событие A – родилась девочка.

P = P(A) = 0,49;

q = 1 – p = 1 – 0,49 = 0,51.

Формула Бернулли:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Всего шесть детей, значит n=6.

Надо найти вероятность того, что среди них точно одна девочка, значит m = 1.

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Ответ: Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

8) Отрезок AB разделен точной C в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошено 6 точек. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. Найти вероятность того, что более одной точки окажется правее точки C.

Решение

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Событие A – случайная точка попала на отрезок CB (правее точки C).

Так как C делит AB в отношении 2:1, то:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Значит:

2CB=AC;

2CB+CB=AC+CB;

3CB=AB;

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Опираясь на геометрическое определение вероятности, получаем:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула Бернулли:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Всего на отрезок AB брошено 6 точек, значит n = 6.

Событие B – более одной точки окажется правее точки C.

Противоположное событие:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru – не более одной точки окажется правее точки C, то есть ни одной точки или ровно одна точка.

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Ответ: Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

9) Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что не более 5 раз выпадет герб.

Решение

Событие A – при подбрасывании монеты выпадает герб.

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Монета подбрасывается 6 раз, значит n = 6.

Событие B – герб выпадет не более 5 раз.

Противоположное событие:

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru – герб выпадет более 5 раз, то есть 6 раз.

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Ответ: Формула полной вероятности. Формула Байеса - student2.ru

Наши рекомендации