Тема 2. Формула полной вероятности и формула Байеса
Контрольная работа
По дисциплине «Математика и информатика»
Преподаватель: Яковенко И. В.
Зимняя сессия 2014-15 гг.
Необходимые теоретические сведения
Тема 1. Случайные события. Основные понятия и определения. Основные теоремы.
В данной теме рассматриваются основные исходные понятия и определения. Особенно важны такие фундаментальные понятия, как «испытание», «случайное событие», «элементарное событие», «пространство элементарных событий», «вероятность события» и т.д., логическое содержание которых может быть усвоено лишь на конкретных примерах. Данная тема включает ряд основных теорем и формул. Их использование, несмотря на кажущуюся простоту аналитической записи, требует четкого понимания их логического содержания и условий применимости.
Ниже будут рассмотрены задачи, решение которых может быть связано с использованием основных теорем (сложения, умножения). Решая задачу, прежде всего, необходимо ввести обозначения для событий и по данным условия составить соотношения между ними, позволяющие определить искомую вероятность через данные или более просто определяемые вероятности. Нужно внимательно следить за выполнением условий применимости используемой теоремы. Так, применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, важно установить несовместимость событий. Если события-слагаемые совместимы, то для нахождения вероятности их суммы иногда целесообразно перейти к противоположному событию.
Теорема умножения вероятностей требует предварительного анализа независимости или зависимости событий-сомножителей. В последнем случае при применении этой теоремы используются условные вероятности.
Запись события С в виде суммы 
или произведения 
событий становится более понятной, если пользоваться логическим определением этих формально алгебраических операций над событиями: событие означает наступление или 
, или 
, ..., или 
; событие означает наступление и ,и , ..., и .
Рассмотрим решение типовых задач:
Задание 1
Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях:
а) сумма числа очков не превосходит 5;
б) произведение числа очков не превосходит 13;
в) произведение числа очков делится на 6.
Решение: В данной задаче испытанием является бросание двух игральных костей. Результатом испытания является одно из сочетаний очков 1, 2, 3, 4, 5, 6 на верхних гранях двух костей.
а) Рассмотрим событие А - сумма числа очков на двух костях не превосходит 5, т. е. указанная сумма меньше или равна 5.
Вероятность события А вычислим с помощью классического определения вероятности
,
где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; m – число элементарных исходов благоприятствующих появлению события A.
Числа m и n можно определять, используя основные правила и понятия комбинаторики, а так же непосредственно выписав всевозможные результаты испытаний и выделив из них те, для которых сумма числа очков на двух костях не превосходит 5. Последним способом можно воспользоваться, если общее число исходов и число исходов, благоприятствующих наступлению события A, не велико, как в нашем случае.
Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания (в первом столбце по вертикали укажем число очков, которое может появиться на одной кости, в первой строке по горизонтали – число очков которое может появиться на второй кости, внутри таблицы запишем сумму числа очков на двух костях)
Таблица 1.
| «+» | ||||||
Тогда из таблицы 1 несложно найти общее число равновозможных элементарных исходов испытания: 
(число клеток в таблице 1, имеющих светлую штриховку и не имеющих штриховки); и число элементарных исходов благоприятствующих появлению события A: 
(число клеток в таблице 1, имеющие светлую штриховку).
В результате получаем
.
Таким образом, искомая вероятность равна 0,278.
б) Рассмотрим событие В - произведение числа очков не превосходит 13, т. е. указанное произведение меньше или равно 13.
Вероятность события В вычислим с помощью классического определения вероятности
.
Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания (в первом столбце по вертикали укажем число очков, которое может появиться на одной кости, а в первой строке по горизонтали – число очков которое может появиться на второй кости, внутри таблицы запишем произведение числа очков на двух костях)
Таблица 2.
| «х» | ||||||
Из таблицы 2 находим: (число клеток в таблице 2, имеющих светлую штриховку и не имеющих штриховки); 
(число клеток в таблице 2, имеющие светлую штриховку).
В результате получаем
.
Таким образом, искомая вероятность равна 0,639.
в) Рассмотрим событие С - произведение числа очков делиться на 6.
Вероятность события С вычислим с помощью классического определения вероятности
.
Используя таблицу 2 произведений числа очков выпавших на двух костях из задания 1 б), несложно подсчитать число случаев благоприятствующих наступлению события C. Для удобства рекомендуется таблицу переписать еще раз, отметив в ней исходы, благоприятствующие наступлению события C.
Таблица 3.
| «х» | ||||||
Из таблицы 3 находим: (число клеток в таблице 3, имеющих светлую штриховку и не имеющих штриховки); 
(число клеток в таблице 3, имеющие светлую штриховку).
В результате получаем
.
Таким образом, искомая вероятность равна 0,417.
Ответ: 
; 
; 
.
Задание 2
В урне содержится 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:
а) 2 белых шара;
б) меньше, чем 2, белых шара;
в) хотя бы один белый шар.
Решение: В данной задаче испытанием является случайное вынимание четырех шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 (число вынутых случайным образом из урны шаров) из 11 шаров (5 черных + 6 белых = 11 шаров, имеющихся в урне). Их число можно определить по формуле числа сочетаний из k по m:
,
где 
и 
(читается “«ка» факториал”) – есть произведение первых k натуральных чисел, то есть 
, причем по определению факториала полагают, что 
.
В нашем случае 
. Тогда
а) Рассмотрим событие А – среди четырех вынутых шаров 2 белых, то есть среди вынутых шаров 2 белых и 2 черных.
Вероятность события А вычислим с помощью классического определения вероятности
,
где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания (в нашем случае 
); m – число элементарных исходов благоприятствующих появлению события A.
Для нахождения m воспользуемся правилом умножения: если требуется выполнить одно за другим какие-то 
действий, которые можно выполнить соответственно 
способами, то все действий вместе могут быть выполнены 
способами.
В нашем случае требуется выбрать из 6 белых шаров 2 шара и из 5 черных шаров еще 2 шара. Из 6 шаров выбрать 2 шара можно 
способами, из 5 шаров выбрать 2 шара можно 
способами. Тогда число способов, благоприятствующих событию 
, определяется следующим выражением
В результате получаем:
0,454.
Таким образом, искомая вероятность равна 0,454.
б) Рассмотрим событие B – среди четырех вынутых шаров меньше чем 2 белых, то есть среди вынутых шаров или ни одного белого шара, а все четыре черные, или среди них один белый, а остальные три черные. Таким образом, событие B состоит из двух несовместных событий:
- среди вынутых шаров только один белый и 3 черных шара,
- среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные, то есть
.
Так как события 
несовместны, то есть при осуществлении одного из событий другое произойти не может, то для нахождения вероятности события 
можно воспользоваться илитеоремой сложения для несовместных событий или классическим определением вероятности, используя правило сложения.
Проиллюстрируем оба метода.
Первый способ: Используем теорему сложения для несовместных событий, то есть если события и несовместные, то вероятность суммы этих событий 
определяется следующей формулой
.
В нашем случае имеем: события несовместны, тогда
.
Вероятности событий 
и 
определим, используя классическое определение вероятностей.
Для события имеем
,
где , 
(при вычислении 
использовали правило умножения, т. к. нам необходимо было определить число способов, которым можно выбрать из 6 белых один шар и из 5 черных 3 шара и свойство числа сочетаний 
). Тогда
.
Для события имеем
,
где , 
(при вычислении 
использовали правило умножения, т. к. нам необходимо было определить число способов, которым можно выбрать из 6 белых ноль шаров и из 5 черных 4 шара). Тогда
.
В результате получим:
Таким образом, искомая вероятность равна 0,197.
Второй способ: Для определения вероятности события воспользуемся классическим определением вероятности
,
где ; а m можно определить, используя правило сложения, которое состоит в следующем: если объект A может быть выбран способами, а объект B – другими способами, причем выборы объектов A и B несовместны (взаимно исключающие друг друга), то выбор «либо A либо B» может быть осуществлен 
способами.
Таким образом, число исходов, благоприятствующих наступлению события B, определим как сумму и , где и определим, используя правило умножения (правило умножения сформулировано в решении задачи 2 (а)).
.
В результате получим:
.
Таким образом, искомая вероятность равна 0,197.
Решение: в) Рассмотрим событие С – среди четырех вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 черных (событие 
), 2 белых и 2 черных (событие 
), 3 белых и 1 черный (событие 
), 4 белых и ни одного черного (событие 
). Тогда
.
Здесь события C определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит обычно к сложным (громоздким) вычислениям. В таких задачах удобнее вначале рассмотреть противоположное событие 
и найти его вероятность 
, а затем воспользоваться формулой
.
Рассмотрим противоположное событие - среди четырех вынутых шаров нет ни одного белого шара. Вероятность этого события вычислим, используя классическое определение вероятности
,
где , 
.
Таким образом, вероятность противоположного события
.
В результате получим:
.
Таким образом, искомая вероятность равна 0,985.
Ответ: 
0,454; 
; 
.
Задание 3
Слово «ЭКОНОМИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают 5 карточек без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке слова «МОНО».
Решение: Испытание состоит в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата по одной. Элементарным событием является полученная последовательность букв.
Рассмотрим событие F, которое состоит в том, что появилось слово «МОНО».
Предложенную задачу можно решить, используя основные теоремы теории вероятностей, в частности теорему умножения для зависимых событий, или используя классическое определение вероятности и формулы комбинаторики. Рассмотрим оба способа решения.
Первый способ (используя основные теоремы теории вероятностей).
Рассмотрим событие F – появилось слово «МОНО».
Рассмотрим элементарные события:
событие A – первая вынутая карточка содержит букву «М»;
событие B – вторая вынутая карточка содержит букву «О»;
событие C – третья вынутая карточка содержит букву «Н»;
событие D – четвертая вынутая карточка содержит букву «О».
Событие F , используя алгебру событий, можно выразить через события A, B, C, D следующим образом:
.
Переходя к вероятностям, получим
.
События A, B, C, D являются зависимыми. Это следует из того, что вероятность каждого последующего события зависит от вероятности предыдущего события. Действительно, вероятность того, что вторая вынутая карточка будет содержать букву «О», то есть вероятность события B зависит от того, с какой буквой была вынута первая карточка, то есть, зависит от вероятности события A. Вероятность того, что третья карточка будет содержать букву «Н», то есть вероятность события C зависит от того, с какими буквами были вынуты первая и вторая карточки, то есть зависит от вероятностей событий A и B; и т.д. Применяя теорему умножения для зависимых событий, получим:
,
где 
- вероятность события A;
- вероятность события B при условии, что произошло событие A, то есть условная вероятность события B;
- вероятность события C при условии, что произошли события A и B, то есть условная вероятность события C;
- вероятность события D при условии, что произошли событие A, B и C, то есть условная вероятность события D;
Вероятность события A, то есть и условные вероятности 
, найдем, используя классическое определение вероятности
,
где E – искомое событие, n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; m – число элементарных исходов благоприятствующих появлению события E.
Для события A имеем: 
- число карточек содержащих буквы слова «ЭКОНОМИКА»; 
- число карточек содержащих букву «М». Тогда вероятность события A:
.
Для события B, при условии, что событие A произошло, имеем: 
- число карточек, оставшихся после того, как одну карточку вынули; 
- число карточек содержащих букву «О». Тогда - вероятность события B при условии, что произошло событие A:
.
Для события C, при условии, что события A и B произошли, имеем: 
- число карточек, оставшихся после того, как две карточки вынули; - число карточек содержащих букву «Н». Тогда - вероятность события C при условии, что произошли события A и B:
.
Для события D, при условии, что события A, B и C произошли, имеем: 
- число карточек, оставшихся после того, как три карточки вынули; - число карточек содержащих букву «О» (одну из двух имеющихся первоначально карточек содержащих букву «О» уже вынули, а обратно карточки не возвращают). Тогда вероятность события D при условии, что произошли событие A, B и C:
.
Таким образом, подставляя найденные вероятности, получим вероятность искомого события F - появилось слово «МОНО»
.
Второй способ (используя элементы комбинаторики).
Рассмотрим событие F – появилось слово «МОНО».
Вероятность события F найдем, используя классическое определение вероятности
,
где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; m – число элементарных исходов благоприятствующих появлению события F.
Общее число равновозможных элементарных исходов испытания является размещение без повторений из 9 объектов по 4 объекта, то есть
Замечание. Пусть дано множество N состоящие из n элементов. Размещениями называют упорядоченные последовательности объектов подмножеств множества N. Общее число различных размещений 
из 
объектов по 
можно найти по формуле
Так как в слове «МОНО» повторяется буква «О» два раза, то возможны перестановки, при которых слово не изменяется, то есть число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события F, определим по формуле:
Таким образом, искомая вероятность равна
.
Ответ:Искомая вероятность 
.
Тема 2. Формула полной вероятности и формула Байеса
Если события 
попарно несовместные события, объединение которых совпадает с пространством элементарных событий проводимого испытания (образуют полную группу событий или полную систему событий), и событие A – случайное событие из этого пространства, то для нахождения вероятности события A, то есть используется формула полной вероятности
В этом случае события обычно называют гипотезами. Сумма вероятностей гипотез 
должна быть равна единице, то есть
.
Если выполняются все условия, имеющие место для формулы полной вероятности и известно, что событие A уже наступило, то можно вычислить условную вероятность того, что вместе с событием A осуществилась гипотеза по формуле Байеса:
где - полная вероятность события A.
С помощью формулы Байеса можно после испытания уточнить вероятность происхождения гипотезы .
Задание № 4 связано с применением формулы полной вероятности.
Задание 4
В магазин поступили три партии ламп, насчитывающих соответственно 20, 30 и 50 штук. Вероятности того, что лампа проработает заданное время, равна соответственно для этих партий 0,7, 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что наудачу извлеченная лампа из этих партий проработает заданное время?
Решение: Испытание состоит в том, что наудачу извлекается одна лампочка из 100 (20+30+50=100) имеющихся ламп.
Рассмотрим событие F – извлеченная лампа проработает заданное время.
Рассмотрим гипотезы:
событие 
- наудачу выбранная лампа принадлежит первой партии;
событие 
- наудачу выбранная лампа принадлежит второй партии;
событие 
- наудачу выбранная лампа принадлежит третьей партии.
Так как события 
образуют полную группу событий и событие F может наступить с одним из этих событий-гипотез, то для нахождения вероятности события F можно воспользоваться формулой полной вероятности
Найдем вероятности гипотез , то есть 
, 
, 
, используя классическое определение вероятности
,
где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; 
– число элементарных исходов благоприятствующих появлению события .
Общее число равновозможных элементарных исходов испытания 
. Число элементарных исходов благоприятствующих появлению события , то есть события состоящего в том, что выбранная наудачу лампа из первой партии, равно 
.
Тогда вероятность события :
.
Аналогично находим вероятности событий и .
Для события имеем: 
и 
. Тогда
.
Для события имеем: и 
. Тогда
.
Таким образом, по условию, вероятности гипотез:
, 
, 
.
Найдем условные вероятности события A при условии, что события соответственно наступили, то есть вероятности 
, 
, 
. В предложенной задаче эти вероятности даны в условии задачи.
, 
, 
.
Тогда подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, найдем вероятность события F:
Ответ:Искомая вероятность 
.
Задание № 5 связано с применением формулы Байеса.
Задание 5
В больницу поступили пациенты трех социальных групп. 30 % пациентов принадлежат первой социальной группе, 20 % - второй и 50 % - третьей. Вероятность заболевания туберкулезом для представителей каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведенные анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулеза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.
Решение: Испытание состоит в том, что наудачу берут анализ у одного пациента из 100% (30%+20%+50%=100%) поступивших в больницу пациентов.
Рассмотрим событие F – выбранный пациент болен туберкулезом.
Рассмотрим гипотезы:
событие - наудачу выбранный пациент принадлежит к первой социальной группе;
событие - наудачу выбранный пациент принадлежит ко второй социальной группе;
событие - наудачу выбранный пациент принадлежит к третьей социальной группе.
По условию задачи необходимо найти вероятность события 
(условную вероятность события при условии, что событие F наступило, то есть вероятность 
или 
), то есть события состоящего в том, что наудачу выбранный пациент принадлежит к третьей социальной группе, если известно, что он болен туберкулезом.
Так как события образуют полную группу событий, и событие F произошло вместе с одним из этих событий-гипотез, то для нахождения вероятности (или ) воспользуемся формулой Байеса
,
где 
- полная вероятность события F, которая может быть определена по формуле полной вероятности
.
Для применения формулы Байеса и формулы полной вероятности необходимо найти вероятности гипотез , то есть , , . Это можно осуществить, используя классическое определение вероятности
,
где n – общее число равновозможных элементарных исходов испытания; – число элементарных исходов благоприятствующих появлению события .
В нашем случае общее число равновозможных элементарных исходов испытания 
( 
). Число элементарных исходов благоприятствующих появлению события , то есть события состоящего в том, что наудачу выбранный пациент принадлежит к первой социальной группе, равно 
.
Тогда вероятность события :
.
Аналогично находим вероятности событий и :
,
.
Таким образом, по условию, вероятности гипотез: 
, 
, .
Найдем условные вероятности события A при условии, что события соответственно наступили, то есть вероятности , , . В предложенной задаче эти вероятности даны в условии задачи.
, 
, 
.
Тогда подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, найдем вероятность события F:
Подставляя найденные вероятности в формулу Байеса, получим вероятность искомого события:
.
Ответ:Искомая вероятность 
.