Задание 3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

3.1. Сборщик получает в среднем 40% деталей завода № 1, 25% - завода № 2, 35 % - завода № 3. Вероятность того, что деталь завода № 1 отличного качества равна 0,9, для заводов № 2 и № 3 эти вероятности равны, соответственно, 0,7 и 0,95. а) Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества. б) Деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что она поступила с завода №3?

3.2. Летчик катапультируется в местности, 60% которой занимают леса. Вероятность благополучного приземления в лесу равна 0,3, а в безлесной местности – 0,9. а) Какова вероятность благополучного приземления летчика? б) Летчик приземлился благополучно. Какова вероятность того, что он приземлился в лесу?

3.3. Дела в прокуратуру поступают из двух отделов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого отдела имеет 10% ошибок, а второго – 20%. а) Найти вероятность того, что одно взятое наугад дело не содержит ошибок. б) Взятое наугад дело не содержит ошибок. Найти вероятность того, что оно поступило из второго отдела.

3.4. На спартакиаду прибыли 20 лыжников, 15 гимнастов и 5 шахматистов. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжников – 0,8; для гимнастов – 0,6; для шахматистов – 0,9. Случайно вызывается один спортсмен. а) Какова вероятность того, что он выполнит норму? б) Случайно вызванный спортсмен выполнил норму. Какова вероятность того, что он лыжник?

3.5. Три автомата изготовляют одинаковые детали. Их производительность относится как 5:3:2, а стандартные детали среди их продукции составляют в среднем, соответственно, 95%, 90% и 85%. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая из не рассортированной продукции деталь окажется нестандартной. б) Наудачу взятая деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что она произведена вторым автоматом.

3.6. В центральном округе зарегистрировано 150 торговых предприятий, в западном – 250, в восточном - 100. Среди предприятий центрального, западного и восточного округов добросовестно платят налоги, соответственно, 60%, 75% и 80% предприятий. а) Найти вероятность того, что случайно выбранное для проверки предприятие добросовестно платит налоги. б) Выбранное предприятие оказалось добросовестным налогоплательщиком. Какова вероятность того, что оно зарегистрировано в центральном округе?

3.7. В 35% случаев, когда фирма выпускает в продажу новый товар, конкурент выпускает в продажу аналогичный продукт. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,75, а при наличии конкурирующего продукта – 0,4. а) Найти вероятность того, что выпущенной фирмой товар будет уметь успех. б) Товар имел успех на рынке. Какова вероятность того, что конкурент выпустил в продажу аналогичный продукт?

3.8. Трое рабочих обрабатывают однотипные детали. Первый обработал за смену 30 деталей, второй – 25, третий – 15. Вероятность брака для первого рабочего – 0,04, для второго – 0,02, для третьего – 0,03. Из общей выработки за смену наудачу взята и проверена одна деталь. а) Найти вероятность того, что она окажется бракованной. б) Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она обработана вторым рабочим.

3.9. Для данного аэропорта в 80% случаев метеоусловия считаются хорошими. При хороших метеоусловиях вероятность благополучной посадки самолета равна 0,9999, при плохих – 0,9991. Экипажу самолета, идущего на посадку, по техническим причинам не известны метеоусловия в районе аэропорта. а) Найти вероятность благополучного приземления самолета. б) Самолет приземлился благополучно. Найти вероятность того, что погодные условия были плохими.

3.10. Путешественник может купить билет в одной из трех касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, равна , ко второй – , к третьей – . Вероятности того, что билетов в кассах уже нет, такие: в первой кассе – , во второй – , в третьей – . Случайным образом путешественник выбирает кассу. а) Найти вероятность того, что он купит билет. б) Путешественник обратился в одну из касс и купил билет. Какова вероятность того, что он отправился к третьей кассе?

3.11. Автомобили поставляются в автосалон тремя поставщиками: 25% - первым поставщиком, 50% - вторым, 25% - третьим. Вероятности того, что автомобиль в течение года потребует ремонта, равны для этих поставщиков, соответственно, 0,1; 0,2; 0,4. а) Определить вероятность того, что купленный в автосалоне автомобиль не потребует ремонта в течение года. б) Купленный автомобиль не потребовал ремонта. Какова вероятность того, что он был поставлен первым поставщиком?

3.12. В ящике имеются детали трех типов: 40 деталей первого типа; 50 – второго и 60 – третьего, причем окрашенные среди них составляют, соответственно, 20%, 40% и 60%. а) Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из ящика деталь окажется окрашенной. б) Наудачу извлеченная деталь оказалась окрашенной. Найти вероятность того, что это деталь второго типа.

3.13. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел. а) Найти вероятность того, что он не попадет в мишень. б) Стрелок не попал в мишень. Какова вероятность того, что он принадлежит к первой группе?

3.14. Имеются три одинаковые по виду ящика. В первом ящике – 20 белых и 30 черных шаров, во втором – 20 белых и 20 черных шаров, в третьем – 15 черных и 25 белых шаров. Из выбранного наудачу ящика вынули шар. а) Найти вероятность того, что шар окажется черным. б) Вынутый наудачу шар оказался черным. Найти вероятность того, что шар вынут из второго ящика.

3.15. Турист, заблудившись в лесу, вышел на поляну, от которой в разные стороны ведут пять дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность его выхода из леса в течение часа составляет 0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; если по четвёртой – 0,1; если по пятой – 0,1. Турист наудачу выбрал дорогу. а) Найти вероятность того, что турист в течение часа выйдет из леса. б) Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если он через час вышел из леса?

3.16. В данный район изделия поставляются двумя фирмами в соотношении 5:8. Среди продукции первой фирмы изделия хорошего качества составляют 90%, второй – 85%. а) Найти вероятность того, что взятое наугад изделие имеет хорошее качество. б) Взятое наугад изделие оказалось хорошего качества. Найти вероятность того, что оно поставлено первой фирмой.

3.17. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,075, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата втрое больше, чем первого. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна. б) Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она произведена вторым автоматом?

3.18. На наблюдательной станции установлены 4 радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,8, второго – 0,9, третьего – 0,95, четвертого – 0,75. Наблюдатель наугад включает один из локаторов. а) Найти вероятность того, что цель будет обнаружена. б) Цель была обнаружена. Найти вероятность того, что был включен третий локатор.

3.19. Курс доллара повышается в течение месяца с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении – с вероятностью 0,5. а) Найти вероятность того, что в наступающем месяце фирма получит прибыль. б) Фирма по итогам месяца получила прибыль. Какова вероятность того, что курс доллара при этом понижался?

3.20. Среди 350 механизмов 80 имеют высокую степень износа, 110 – среднюю степень, 160 являются новыми. Вероятность сбоя в работе изношенного механизма (в течение дня) равна 0,15, для механизма средней степени износа эта вероятность равна 0,1, для нового механизма – 0,05. а) Найти вероятность того, что наудачу выбранный механизм будет исправно работать в течение дня. б) Механизм отработал без сбоев целый день. Какова вероятность того, что он имеет высокую степень износа?

3.21. В ремесленном цехе трудятся 3 мастера и 6 их учеников. Среди изделий, изготовленных мастером, в среднем встречается 5% бракованных, а среди изделий, изготовленных учеником, брак составляет 15%. Случайным образом выбирается одно изделие, поступившее из цеха. а) Найти вероятность того, что оно окажется бракованным. б) Изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что его изготовил мастер?

3.22. В магазине имеются телевизоры импортной и отечественной сборки в соотношении 2:9. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока телевизора импортной сборки равна 0,005; отечественной – 0,01. а) Найти вероятность того, что купленный в магазине телевизор выдержит гарантийный срок. б) Известно, что телевизор выдержал гарантийный срок. Какова вероятность того, что этот телевизор собран в России?

3.23. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит пост ДПС, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет остановлена для досмотра грузовая машина, равна 0,2; для легковой машины эта вероятность равна 0,1. а) Найти вероятность того, что проезжающая по шоссе машина будет остановлена для досмотра. б) Для досмотра была остановлена машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

3.24. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием K, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием M. Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7; для болезней L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. а) Найти вероятность того, что больной, поступивший в больницу, выписан здоровым. б) Больной был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.

3.25. Среди 30 сотрудников отдела 18 имеют техническое образование, а остальные – экономическое. В среднем 20% документов, подготовленных сотрудниками с экономическим образованием, и 35% документов, подготовленных сотрудниками с техническим образованием, отправляются на доработку. а) Найти вероятность того, что подготовленный в отделе документ будет отправлен на доработку. б) Документ был отправлен на доработку. Найти вероятность того, что он подготовлен сотрудником с экономическим образованием.