Рівномірна неперервність функції

Функція називається рівномірно неперервною на множині , якщо : (Коші).

Теорема 1. (Кантора)

Нехай функція неперервна на множині . Якщо – компакт, то рівномірно неперервна на .

Доведення. Від супротивного. Якщо це не так, то

: : .

Виберемо послідовність додатних чисел . Тоді : . Виберемо підпослідовність , тоді за означенням компакту і з одного боку , а з іншого – з неперервності функції

,

одержана суперечність завершує доведення.

Теорему доведено.

Функція називається рівномірно неперервною на множині , якщо з умови випливає, що (Гейне).

Теорема 2. (Еквівалентність означень Коші та Гейне рівномірної неперервності)

Означення за Коші та за Гейне еквівалентні.

Доведення. Необхідність. Від супротивного. Спочатку запишемо заперечення означення рівномірної неперервності, тобто означення відсутності рівномірної неперервності: : : . Припустимо : : : : означення відсутності рівномірної неперервності функції .

Необхідність доведено.

Достатність. Від супротивного. Припустимо, що – не є рівномірно неперервною : . Нехай - вибрано, тоді для : , : – суперечність.

Достатність доведена.

Теорему доведено.

Властивість 1. (Рівномірна неперервність звуження)

Якщо рівномірно неперервна на , то її звуження також є рівномірно неперервною на .

Доведення. З умови : , але тоді достатньо вибрати теж саме і ми одержимо для множини , що : .

Властивість доведена.

Властивість 2. (Неперервність рівномірно неперервної функції)

Якщо – рівномірно неперервна на , то .

Доведення. Виберемо довільну точку та покладемо в означенні рівномірної неперервності в якості . Одержали неперервність функції в точці

Властивість доведена.

Властивість 3. (Рівномірна неперервність на об’єднанні)

Якщо функція є рівномірно неперервною на множинах та , то вона є рівномірно неперервною на , .

Доведення. Запишемо умови: : , і також : , але тоді виберемо , і будемо мати, що : одержимо , тому що: якщо це слідує з першої умови; якщо – все слідує з другої умови; якщо ж ми одержимо:

.

Властивість доведена.

Властивість 4. (Рівномірна неперервність на нескінченності)

Якщо і має скінчену границю , то є рівномірно неперервною на .

Доведення. : . Виберемо довільне і знайдемо відповідне . Розглянемо два проміжки: та . На першому з них за теоремою Кантора

: ,

на другому

: .

Тепер

1) якщо , то ;

2) якщо , то ;

3) якщо .

Властивість доведена.

Властивість 5. (Лінійність рівномірної неперервності)

Якщо рівномірно неперервні на функції, то функція рівномірно неперервна на .

Ця властивість очевидно доводиться з визначення рівномірної неперервності.

Властивість 6. (Критерій рівномірної неперервності на інтервалі)

Нехай . Якщо , , то – рівномірно неперервна на , інакше – не є рівномірно неперервною на .

Доведення. Спочатку першу частину властивості, тобто у випадку існування скінчених границь на краях. Розглянемо функцію: . За побудовою з теореми Кантора є рівномірно неперервною на з властивості 1) про рівномірну неперервність на звуженні є рівномірно неперервною на і перша частина властивості доведена.

Нехай тепер принаймні одна з двох границь , – або не існує, або дорівнює нескінченності. Без обмежень загальності, припустимо, що це відбувається з . Розглянемо по черзі і тут обидва випадки.

Якщо вказана границя дорівнює нескінченності, то : . Але тоді легко побудувати її підпослідовність, яку позначимо , для якої виконується умова: . Інакше це буде суперечити умові . Але тоді ми можемо побудувати такі дві послідовності: , . Для цих послідовностей виконуються умови:

та ,

звідки з критерію рівномірної неперервності випливає відсутність рівномірної неперервності на проміжку .

Якщо , то звідси безпосередньо випливає, що : та , та . Але тоді ми маємо, що для цих двох послідовностей виконуються умови: , , а тому з критерію рівномірної неперервності випливає, що не є рівномірно неперервною на .

Властивість доведена.

Властивість 7. (Достатня умова рівномірної неперервності)

Якщо на проміжку функція має обмежену похідну. то вона рівномірно неперервна на .

Доведення. Нехай для деякого , тоді покладемо з теореми Лагранжа маємо, що :

,

що й треба було двести.

Властивість доведена.

Приклад 1. Дослідити на рівномірну неперервність функції на вказаних проміжках:

1) , ; 2) , ;3) , ;

4) , ;5) , ; 6) , .

1) Рівномірно неперервна за теоремою Кантора.

2) Функція не є рівномірно неперервною за властивістю 5), оскільки .

3) Функція є рівномірно неперервною за властивістю 5), оскільки , .

4) Функція не є рівномірно неперервною за властивістю 5), оскільки , так як для послідовностей ; ; ; .

5) – рівномірно неперервна на за властивістю 3), оскільки та .

6) , ; при ; .