Инвестиции и их неопределенность.

Планируя проект, автор идеи всегда дает примерную оценку, сколько лет займет данная разработка и какие средства, возможно, потребуется вложить в проект. Для упрощения модели мы предполагаем, что инвестиции в проект будут равномерными от периода к периоду, поэтому в идеальном случае (отсутствие неопределенности) K = nI, где

К – ожидаемый объем инвестиций в проект,

n – количество периодов времени, в течение которых будут производиться разработки,

I – ежегодный объем инвестиций в проект.

Запишем процесс изменения ожидаемых инвестиций в проект:

, где dz = xÖdt, x~N(0,1),

r - волатильность процесса инвестиционного потока.

Данная форма стохастического процесса предложена впервые Пиндайком[3] (Investment Under Uncertainty) и удобна нам в силу своей особенности: оптимальной стратегией в данном процессе в любой период будет либо инвестировать в полном объеме I, либо не инвестировать вовсе (так называемый, bang-bang solution[4]).

Кроме того, в этом случае дисперсия общей величины ожидаемых инвестиций в проект К записывается как[5]: .

Таким образом, мы вводим неопределенность в объемы и время инвестиции, и в подавляющем большинстве случаев симулируемый процесс будет отличаться по величине общего объема инвестиций и времени завершения разработки от прогнозных значений.

После завершения разработки (переходу к более поздним стадиям – III и IV) , капитальные инвестиции в проект не прекращаются: существенно снижается лишь неопределенность в отношении объемов. Поэтому на этом этапе мы предполагаем, что ежегодные инвестиции составляют определенную долю от выручки текущего периода:

I(t) = s R(t)

Динамика выручки проекта.

Предполагаемая динамика выручки задается случайным процессом конвергенции к среднему (mean-reversion)[6]:

Ключевым здесь является тот факт, что дисперсия и тренд (b(t) и a(t)) не являются наперед задаваемыми константами, а сами зависят от времени, что поможет нам имплантировать концепцию жизненного цикла в модель.

Величина dq отражает возможность неблагоприятных шоков в выручке в течение всего жизненного цикла. Процесс шоков является случайным и независим от случайного стохастического процесса, выражаемого через dz. В основе неопределенности шоков – процесс Пуассона. То есть, вероятность того, что на протяжении временного отрезка t в выручке случится некий неблагоприятный случайный шок, равна:

Тогда само слагаемое dq будет записано как:

Где, y - это тоже случайная величина, определяющая размер шока в выручке, и для простоты имеет равномерное распределение на отрезке [-R(t),0], то есть в какой-то момент продажи компании за период могут единовременно снизиться на величину от 0% до 100% выручки текущего периода, а в следующих периодах опять начнут расти, то есть двигаться к своему долгосрочному значению.

Процесс a(t) – является сходящимся к некому долгосрочному уровню a₁. При этом, в рамках модели жизненного цикла продукта (компании) можно выделить два таких долгосрочных уровня, к которым стремится процесс.

Мы понимаем, что для высокотехнологичных компаний не характерен постоянный и равномерный рост в течение всей «жизни». Исходя из нашей классификации можно сделать следующие предположения относительно того, как протекает их развитие (см. Табл.2).

Таблица №2. Динамика роста высокотехнологичных компаний.

Стадия	События	Динамика роста продаж
I	этап зарождения идеи и ее воплощения в продукте	Отсутствие роста
II	этап пробных продаж, построения сбытовой сети, коммерциализации разработки	Начало роста: незначительные темпы
III	этап массовых продаж, признания технологии, активного роста, выхода на прибыльность	Максимальный темп роста (возможен рост с ускорением)
IV	этап зрелости, замедленного роста, стабилизации финансовых показателей, значительной выручки и прибыли	Замедление темпов роста, последующая остановка, возможный спад

Таким образом, динамика роста высокотехнологичной компании подчиняется достаточно сложному процессу (его график представлен на рисунке №1).

Рис. №1. Темп роста выручки высокотехнологичной компании в зависимости от стадии

а

I II III IV

t

T₃

Глядя на рисунок, легко можно заключить, что ключевыми моментами для динамики роста являются момент максимизации темпа роста и последующее замедление с выходом на некий минимальный стабильный уровень (или, что менее вероятно, отсутствие стационарного темпа роста - снижение темпов до нуля и переход в отрицательную зону с дальнейшим падением). Для оцифровки процесса мы задаем два критических значения для темпа роста:

a_max – максимальный прогнозируемый темп роста, к которому стремится процесс на первых трех стадиях,

a_min – долгосрочный консервативный темп роста (например, на уровне инфляции).

Переходным является момент времени T_max, когда процесс ускоренного роста сменяется замедлением.

Тогда процесс для a(t) запишется так:

Важнейшей характеристикой процесса является параметр k – скорость, с которой a(t) приближается к заданному уровню (a_max или a_min).

Волатильность изменения выручки b(t) по мере снижения неопределенности с течением временем сходится к своему стационарному значению:

Аналогично ведет себя и волатильность изменения темпа роста выручки (предполагается долгосрочный нулевой уровень):

Ряд авторов[7] предполагают наличие корреляции между b(t) и n(t). Природу такой взаимосвязи они видят в объективном влиянии изменений в темпе роста изменения выручки на само изменение выручки (по сути, второй производной от выручки на первую). Однако, такую корреляцию очень сложно заметить и оцифровать на практике, тем более сложно сделать ее прогноз в начальный момент работы проекта. Поэтому, в нашей модели мы предполагаем независимость этих процессов.