Степенные средние величины

Средняя величина в зависимости от представления исходных данных может быть различна, в каждом отдельном случае приходим к определенному виду средней: арифметической, гармонической, геометрической и т. д. Данные виды средних делятся на простые и взвешенные. Простые средние применяются в тех случаях, если индивидуальные значения усредняемого признака не повторяются. Общий вид простой средней:

, (3.1)

где X – значение осредняемого признака;

m – показатель степени средней;

n – число вариант.

В тех случаях, когда значения признака встречаются неоднократно, используются взвешенные средние. Общий вид взвешенной средней:

, (3.2)

где X – значение осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

f – частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение осредняемого признака.

Таблица 3.1

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени (m)	Формула расчета
Простая	Взвешенная
Гармоническая	-1
Геометрическая
Арифметическая
Квадратическая
Кубическая

Возникает вопрос, какой формой средней воспользоваться в том или ином случае?

Порядок выбора формы средней качественного признака базируется на основе следующих правил:

- если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, то средняя должна исчисляться по формуле средней арифметической взвешенной;

- если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической;

- в том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя величина вычисляется непосредственно по этой формуле.

При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики.

Пример расчета

Ставится задача вычислить среднюю заработную плату в целом по четырем бригадам КРС (капитального ремонта скважин) цеха по добыче нефти и газа.

Таблица 3.2

Бригада	Средняя заработная плата, тыс. руб.	Фонд заработной платы, тыс. руб.	Численность рабочих, чел.
	13,4	187,6
	15,2	258,4
	21,5	408,5
ИТОГО		1294,5

Варьируя составом исходных данных, используемых для ее решения, возможны следующие подходы.

Вариант I. Вычислим среднюю заработную плату, руководствуясь данными о фонде заработной платы F и численности рабочих f по логической формуле:

,

или

Вариант II. Выполним расчет, используя данные о средней заработной плате и фонде заработной платы по каждой из производственных бригад, по методу средней гармонической:

Вариант III. Вычислим среднюю заработную плату по данным о средней заработной плате и численности рабочих в бригадах по способу средней арифметической:

Если рассчитывать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся не всегда одинаковыми. В данном случае действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

(3.3)

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.