Пряма та площина. Перша позиційна задача

Задача на перетин прямої з площиною є першою основною позиційною задачею. При розв’язуванні цієї задачі розрізняють три випадки розміщення двох геометричних фігур:

o обидві геометричні фігури є проекціюювальними відносно однієї й тієї самої площини проекцій;

o одна геометрична і фігура є проекціюювальною, а друга загального положення;

o обидві геометричні фігури займають загальне положення.

На рис. 20 а зображено перший випадок, коли площина — трикутний відсік АВС i пряма ι займають горизонтально проекцію вальне положення. Горизонтальна проекція трикутного відсіку ніби збирає на себе проекції всіх фігур, що належать площині відсіку. Iнцидентнiсть горизонтальних проекцій відсіку та прямої дає змогу стверджувати, що в цьому випадку пряма ι належить площині відсіку.

На рис. 20 б, зображено другий випадок, коли площина Σ у вигляді трикутного відсіку знаходиться в горизонтально проекцiювальнному положенні, а пряма ι — у загальному. У цьому випадку точку D – точку перетину прямої з площиною — визначають безпосередньо на полі П₁ як точку перетину проекції прямої та площини. Фронтальну проекцію точки D визначають за вертикальною відповідністю. У символічному записі:

Σ₁ Çι₁= D₁; D₁D₂ Çι₂= D₂.

З метою підвищення наочності рисунка вважаємо трикутний відсік непрозорим, тоді частина відрізка прямої буде невидимою, адже він „перекривається” на полі П₂ точку перетину прямоїι₂ зі стороною відсіку В₂ С₂, за допомогою вертикальної лінії сполучення визначимо точку 1₁ на прямій ι₁ та точку 2₁ на площині Σ₁ . Оскільки точка 1 ближче до спостерігача, ніж точка 2, то пряма в цій точці „перекриває» сторону ВС, тому відрізок прямої до точки перетину з відсіком є видимим, а частина його закривається відсіком.

На рис.20 в зображено третій випадок, коли i площина, i пряма займають загальне положення. Для визначення точки перетину прямої з площиною в цьому випадку доцільно застосувати спосіб допоміжних січних площин. Алгоритм розв’язування задачі складається з трьох операцій:

1) через пряму проводять допоміжну площину;

2) знаходять лiнiю перетину заданої площини з допоміжною;

3) визначають точку перетину двох прямих – заданої та лiнiї перетину.

На рисунку 20 в, через пряму проведено горизонтально проекцiюювальну площину Г (ι₁ºГ ₁ ), знайдено лінію перетину двох площин— пряму 1- 2 (її горизонтальна проекція 1₁ 2₁), за горизонтальною проекцією визначають фронтальну проекцію 1₂ 2₂. У перетині ι₂ і ι₂ 2₂ знайдемо шукану точку D₂ – перетин прямої з площиною, її горизонтальну проекцію визначають за вертикальною вiдповiднiстю. Видимість вiдрiзкiв прямої ι визначено за допомогою конкуруючих точок З i 4.У символічному записі:

ι₁ º Г ₁; А₁ В₁ С₁ÇГ ₁=1₁ 2₁; 1₁ 1₂ Ç А₂ В₂ ; 2₁2₂ Ç А₂ С₂ ;

1₂ 2₂ Ç ι₂ = D₂; D₂ D₂ Ç ι₁ = D₁;

Для з’ясування взаємного положення прямої i площини загального положення також доцільно скористатися способом допоміжних сiчнiих площин. При визначенні взаємного положення заданої прямої i знайденої лiнiї перетину двох площин можливі три випадки:

Ø дві прямі “перетинаються ” в одній точці, отже, задана пряма перетинається з площиною в цій точці;

Ø дві прямі паралельні, тобто пряма паралельна площині;

Ø дві прямі зливаються, тобто пряма є підмножиною площини.

На рис. 21 а зображено трикутний відсік АВС і пряму загального положення ι. Для визначення їхнього взаємного положення використано фронтально проекцiюювальну площину Σ, проведену через пряму ι, знайдено лiнiю перетину двох площин - пряму 1-2.

З розгляду горизонтальних проекцій прямих ι₁ і 1₁2₁ видно, що пряма ι перетинає площину АВС у точці D.

На рис. 21 6 побудовано пряму m, паралельну площині відсіку АВС. Для цього також було побудовано пряму 1—2, отриману в результаті перетину трикутного відсіку з фронтально проекціюювальною площиною Г. Горизонтальна проекція прямої m₁, має бути паралельною горизонтальній проекції прямої 1—2.

На рис. 22 в показано пряму п, проекції якої збігаються з проекціями прямої 1—2, що належить площині, тобто пряма є підмножиною площини.

Точка і площина

Точка може належати площині або не належати їй. Це визначається за допомогою прямої, iнцидентної площині. Належність точки площині еквівалентна завданню одного параметра, а оскільки в просторі три параметрична множина точок, то для завдання точки на площині треба використати два параметри (наприклад, задати фронтальну чи горизонтальну проекцію точки в площині).

На рис. 22 зображено трикутний відсік АВС і задано точки 1 та 2. Точка 1 належить площині, оскільки вона належить прямій ВD, що є підмножиною площини; точка 2 не належить площині, адже тільки горизонтальна проекція її iнцидентна горизонтальній проекції прямої В₁D₁ ,а фронтальна проекція не iнцидентна В₂D_{2 .}Сформулюємо таку властивість: точка належить площині, якщо обидві її проекції iнцидентнi відповідним проекціям прямої, що належить площині.

Точка і поверхня

Точка може бути iнцидентна кривій поверхні або не iнцидентна їй. Так само як i на площині, точка iнцидентна поверхні, коли вона лежить на лінії (кривій чи прямій), iнцидентнiй поверхні. Для полегшення побудови бажано, щоб криві були інструментальними (наприклад, колами). На поверхнях другого порядку, що не є поверхнями обертання, завжди можна виділити коло чи пряму, за допомогою яких знаходять проекції точок, яких не вистачає.

На рис. 23 а зображено фронтальну проекцію точки А видимій на П₂ поверхні півкулі. Щоб знайти її горизонтальну проекцію слід через точку А провести допоміжну горизонтальну січну площину Г, яка перетне півкулю по колу радіуса R. Горизонтальна проекція точки А лежатиме на горизонтальній проекції кола.

На рис. 23б показано прямий конус обертання i точку В, що лежить на його видимій половині. Для визначення горизонтальної проекції точки В через неї проведено твірну SМ. Проекція В₁ iнцидентна проекції S₁М₁.