Проверка с помощью критерия Колмогорова

Критерий, предложенный А.Н. Колмогоровым, позволяет с достаточно большой достоверностью проверить, принадлежат ли статистические данные распределений вероятностей безотказной работы изделия к предполагаемому типу семейств законов распределения. Достоинством критерия Колмогорова является то, что его можно использовать для малых n (порядка единиц и десятков).

При проверке вычисляют опытное значения эмпирической функции последовательно во всех интервалах. Опытное значение функции плотности распределения вероятности определим по формуле 2.13:

и в этих же интервалах последовательно вычисляют значения теоретической функции. Затем находят интервал, в котором отклонение D_d принимает максимальное значение:

.

Подтверждение нормального закона распределения Р(λ) определяют [13] в соответствие с критерием согласия λ по таблице 3 приложения 3, если справедлива зависимость Р(λ) > 0,05.

, (4.8)

Теоретическое уравнение плотности распределения для нормального закона [13] имеет вид:

, (4.9)

где Ф(t) = 0,5 интеграл вероятности и Ф(x) - интегральная функция распределения.

Функция распределения:

где – квантиль нормального распределения.

Так как функция Лапласса нечетная, то справедливо равенство

Ф(–х) = – Ф(х)

Задача 9

С помощью критерия Колмогорова определить соответствие данных наработка на отказ из задачи 2 нормальному закону распределения.

Пример решения

Опытное значение функции плотности распределения вероятности F_Э(x_j) определяют по формуле 2.13 (см. задачу 5)

; , аналогичным способом определить значения: , , , , .

Теоретическое значение функции плотности распределения вероятности

F_T(x_j) определяют по формуле (4.9), вначале определив квантиль нормального распределения x для все семи интервалов группирования:

. , аналогичным способом определяют значения: x₃, x₄, x₅, x₆, x₇.

тогда

0,1

аналогичным способом определяют значения: , , , , .

Результаты вычислений занести в таблицу 11.

Данные для вычисления критерия Колмогорова

Таблица 11

Номер интервала	Середина интервала	Теоретическое значение функции плотности распределения вероятности FT(xj)	Опытное значение функции плотности распределения вероятности FЭ (xj)
	88,6	0,1	0,02	0,08
	125,7	0,24	0,067	0,17
	162,8	0,27	0,13	0,14
	200,0	0,24	0,2	0,04
	237,1	0,1	0,37	0,27
	274,2	0,12	0,37	0,25
	311,3	0,15	0,42	0,27
Dmax = 0,27

Значение критерия согласия определяют по (4.8)

По таблице 3 приложения 3 определяют значение функции распределения Р(λ). Гипотеза о нормальном законе распределения справедлива, если Р(λ) > 0,05.

В нашем примере

Р(λ) = 0,002 < 0,05

Что свидетельствует о несостоятельности нормального закона распределения.

Проверить подчинение соответствия данных наработка на отказ из задачи 2 закону распределения Вейбулла.

Дифференциальная теоретическая функция [12] плотности вероятностей рас­пределения Вейбулла определить из уравнения:

,

где параметры распределения Вейбулла принять по задаче 7:

параметр сдвига с = 54,6; параметр масштаба а = 244,2; параметр формы распределения b = 1,93

Отклонение функции D_d определить

Полученные расчётом параметры свести в таблицу 12

Данные для вычисления соответствия закона распределения Вэйбулла

по критерию Колмогорова

Таблица 12

Номер интервала	Середина интервала	Теоретическое значение функции плотности распределения вероятности FT(xj)
	88,6	0,0013	0,0013
	125,7	0,0023	0,018
	162,8	0,0030	0,037
	200,0	0,0034	0,067
	237,1	0,0036	0,085
	274,2	0,0032	0,097
	311,3	0,0025	0,12

Значение критерия согласия определяют по (4.8)

По таблице 3 приложения 3 определяют значение функции распределения Р(λ). Гипотеза о нормальном законе распределения справедлива, если Р(λ) > 0,05.

В нашем примере

Р(λ) = 0,54> 0,05

Что свидетельствует о состоятельности закона распределения Вэйбулла.

Литература

1. Кугель Р.В. Надежность машин массового производства. – М.:
Машиностроение, 1981. – 244 с., ил.

2. Долговечность деталей автомобиля/ В.С. Лукинский, Ю.Г. Котиков, Е.И.

3. Рассоха В.И. Основы теории надежности и диагностика автомобилей: Учебное пособие. – Оренбург: ОГУ, 2002. – 144с.

4. Техническая эксплуатация автомобильного транспорта / В.Н. Черкис, И.А. Луйк, М.Н. Бедняк и др.; Под общ. ред. М.Н. Бедняка. – К.:Техника, 1979.–295 с.

5. Труханов В.М. Надежность в технике. – М.: Машиностроение, 1999. – 598с.

6. Завадский Ю.В. Статистическая обработка эксперимента в задачах автомобильного транспорта. – М.: МАДИ, 1982. – 136 с.

7. Керимов Ф.Ю. Теоретические основы сбора и обработки информации о
надежности машин. - М.: МАДИ, 1979. – 135 с.

8. Керимов Ф.Ю. Методические указания по лабораторному практикуму курса «Теоретические основы сбора и обработки информации о надежности машин».– М.: МАДИ, 1980. – 121 с.

9. Теннант-Смит Дж. Бейсик для статистиков. – М.:Мир, 1988. – 208 с.

10. Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика.
11. Статистический контроль качества. –М.: Мир, 1970.- 368 с.

12. В. И. Брауде, Л. Н. Семенов. Надёжность подъёмно-транспортных машин. – Л.: «Машиностроение», 1986.–182 с.

13. В. А. Зорин. Основы работоспособности технических систем.- М.: 2005. – 535 с.

Приложение 1

Табл. 1

Справочные таблицы

Квантили для распределения

	0,995	0,990	0,975	0,950	0,900	0,750
	0,00004	0,00016	0,00098	0,00393	0,01579	0,10153
	0,01003	0,02010	0,05064	0,10259	0,21072	0,57536
	0,07172	0,11483	0,21580	0,35185	0,58437	1,21253
	0,20699	0,2971 1	0,48442	0,71072	1,06362	1,92256
	0,41174	0,55430	0,83121	1,14548	1,61031	2,67460
	0,67573	0,87209	1,23734	1,63538	2,20413	3,45460
	0,98926	1,23904	1,68987	2,16735	2,83311	4,25485
	1,34441	1,64650	2,17973	2,73264	3,48954	5,07064
	I,73493	2,08790	2,70039	3,32511	4,16816	5,89883
	2,15586	2,55821	3,24697	3,94030	4,86518	6,73720
	2,60322	3,05348	3,81575	4,57481	5,57778	7,58414
	3,07382	3,57057	4,40379	5,22603	6,30380	8,43842
	3,56503	4,10692	5,00875	5,89186	7,04150	9,29907
	4,07467	4,66043	5,62873	6,57063	7,78953	10,16531
	4,60092	5,22935	6,26214	7,26094	8,54676	11,03654
	5,14221	5,81221	6,90766	7,96165	9,31224	11,91222
	5,69722	6,40776	7,56419	8,67176	10,08519	12,79193
	6,26480	7,01491	8,23075	9,39046	10,86494	13,67529
	6,84397	7,63273	8,90652	10,11701	11,65091	14,56200
	7,43384	8,26040	9,59078	10,85081	12,44261	15,45177
	8,03365	8,89720	10,28290	11,59131	13,23960	16,34438
	8,64272	9,54249	10,98232	12,33801	14,04149	17,23962
	9,26042	10,19572	11,68855	13,09051	14,84796	18,13730
	9,88623	10,85636	12,40115	13,84843	15,65868	19,03725
	10,51965	11,52398	13,11972	14,61141	16,47341	19,93934
	11,16024	12,19815	13,84390	15,37916	17,29188	20,84343
	11,80759	12,87850	14,57318	16,15140	18,11390	21,74940
	12, 46134	13,56471	15,30786	16,92788	18,93924	22,65716
	13, 12115	14,25645	16,04707	17,70837	19,76774	23,56659
	13,78672	14,95346	16,79077	18,49266	20,59923	24,47761

Приложение 1

Табл. 1 (продолжение)

f/1-a	0,500	0,250	0,100	0,050	0,025	0,010	0,005
	0,45494	1,32330	2,70554	3,84146	5,02389	6,63490	7,87944
	1,38629	2,77259	4,60517	5,99146	7,37776	9,21034	10,59663
	2,36597	4,10834	6,25139	7,81473	9,34840	11,34487	12,83816
	3,35669	5,38527	7,77944	9,48773	11,14329	13,27670	14,86026
	4,35146	6,62568	9,23636	11,07050	12,83250	15,08627	16,74960
	5,34812	7,84080	10,64464	12,59159	14,44938	16,81189	18,54758
	6,34581	9,03715	12,01704	14,06714	16,01276	18,47531	20,27774
	7,34412	10,21885	13,36157	15,50731	17,53455	20,09024	21, 95495
	8,34283	11,38875	14,68366	16,91898	19,02277	21,66599	23,58935
	9,34182	12,54886	15,98718	18,30704	20,48318	23,20925	25,18818
	10,34100	13,70069	17,27501	19,67514	21,92005	24,72497	26,75685
	11,34032	14,84540	18,54935	21,02607	23,33666	26,21697	28,29952
	12,33976	15,98391	19,81193	22,36203	24,73560	27,68825	29,81947
	13,33927	17,11693	21,06414	23,68479	26,I1895	29,14124	31,31935
	14,33886	18,24509	22,30713	24,99579	27,48839	30,57791	32,80132
	15,33850	19,36886	23,54183	26,29623	28,84535	31,99993	34,26719
	16,33818	20,48868	24,76904	27,58711	30,19101	33,40866	35,71847
	17,33790	21,60489	25,98942	28,86930	31,52638	34, 80531	37,15645
	18,33765	22,71781	27,20357	30,14353	32,85233	36,19087	38,58226
	19,33743	23,82769	28,41198	31,41043	34,16961	37,56623	39,99685
	20,33723	24,93478	29,61509	32,67057	35,47888	38,93217	41,40106
	21,33704	26,03927	30,81328	33,92444	36,78071	40,28936	42,79565
	22,33688	27,14134	32,00690	35,17246	38,07563	41,63840	44,18128
	23,33673	28,24115	33,19624	36,41503	39,36408	42,97982	45,55851
	24,33659	29,33885	34,38159	37,65248	40,64647	44,31410	46,92789
	25,33646	30,43457	35,56317	38,88514	41,92317	45,64168	48,28988
	26,33634	31,52841	36,74122	40,11327	43,19451	46,96294	49,64492
	27,33623	32,62049	37,91592	41,33714	44,46079	48,27824	50,99338
	28,33613	33,71091	39,08747	42,55697	45,72229	49,58788	52,33562
	29,33603	34,79974	40,25602	43,77297	46,97924	50,89218	53,67196

Приложение 1

Табл. 2

Квантили распределения Стьюдента

f\a	0,40	0,25	0,10	0,05
	0,324920	1,000000	3,077684	6,313752
	0,288675	0,816497	1,885618	2,919986
	0,276671	0,764892	1,637744	2,353363
	0,270722	0,740697	1,533206	2,131847
	0,267181	0,726687	1,475884	2,015048
	0,264835	0,717558	1,439756	1,943180
	0,263167	0,711142	1,414924	1,894579
	0,261921	0,706387	1,396815	1,859548
	0,260955	0,702722	1,383029	1,833113
	0,260185	0,699812	1,372184	1,812461
	0,259556	0,697445	1,363430	1,795885
	0,259033	0,695483	1,356217	1,782288
	0,258591	0,693829	1,350171	1,770933
	0,258213	0,692417	1,345030	1,761310
	0,257885	0,691197	1,340606	1,753050
	0,257599	0,690132	1,336757	1,745884
	0,257347	0,689195	1,333379	1,739607
	0,257123	0,688364	1,330391	1,734064
	0,256923	0,687621	1,327728	1,729133
	0,256743	0,686954	1,325341	1,724718
	0,256580	0,686352	1,323188	1,720743
	0,256432	0,685805	1,321237	1,717144
	0,256297	0,685306	1,319460	1,713872
	0,256173	0,684850	1,317836	1,710882
	0,256060	0,684430	1,316345	1,708141
	0,255955	0,684043	1,314972	1,705618
	0,255858	0,683685	1,313703	1,703288
	0,255768	0,683353	1,312527	1,701131
	0,255684	0,683044	1,311434	1,699127
	0,255605	0,682756	1,310415	1,697261

Приложение 2

Таблица 1

Значения К_b, g_b, р_b для заданных значений b

b	Kb	gb	Рb
0,20	120,000	1901,158	190,113
0,30	9,261	50,078	28,334
0,40	3,323	10,438	11,353
0,50	2,000	4,472	6,619
0,60	1,505	2,645	4,593
0,70	1,266	1,851	3,498
0,80	1,133	1,428	2,815
0,90	1,052	1,171	2,345
1,00	1,000	1,000	2,000
1,10	0,965	0,878	1,734
1,20	0,941	0,787	1,521
1,30	0,924	0,716	1,346
1,40	0,911	0,660	1,198
1,50	0,903	0,613	1,072
1,60	0,897	0,574	0,962
1,70	0,892	0,540	0,865
1,80	0,889	0,511	0,779
1,90	0,887	0,486	0,701
2,00	0,886	0,463	0,631
2,10	0,886	0,443	0,567
2,20	0,886	0,425	0,509
2,30	0,886	0,408	0,455
2,40	0,886	0,393	0,405
2,50	0,887	0,380	0,359
2,60	0,888	0,367	0,315
2,70	0,889	0,355	0,275
2,80	0,890	0,344	0,237
2,90	0,892	0,334	0,202
3,00	0,893	0,325	0,168
3,10	0,894	0,316	0,136
3,20	0,896	0,307	0,106
3,30	0,897	0,299	0,078
3,40	0,898	0,292	0,051
3,50	0,900	0,285	0,025
3,60	0,901	0,278	0,001
3,70	0,902	0,272	-0,023
3,80	0,904	0,266	-0,045

Приложение 2

Табл. 1(продолжение)

b	Kb	gb	Pb
3,90	0,905	0,260	-0,067
4,00	0,906	0,254	-0,087
4,10	0,908	0,249	-0,107
4,20	0,909	0,244	-0,126
4,30	0,910	0,239	-0,144
4,40	0,911	0,235	-0,162
4,50	0,913	0,230	-0,178
4,60	0,914	0,226	-0,195
4,70	0,915	0,222	-0,210
4,80	0,916	0,218	-0,225
4,90	0,917	0,214	-0,240
5,00	0,918	0,210	-0,254
5,10	0,919	0,207	-0,268
5,20	0,920	0,203	-0,281
5,30	0,921	0,200	-0,294
5,40	0,922	0,197	-0,306
5,50	0,923	0,194	-0,318
5,60	0,924	0,191	-0,330
5,70	0,925	0,188	-0,341
5,80	0,926	0,185	-0,352
5,90	0,927	0,182	-0,363
6,00	0,928	0,180	-0,373
6,10	0,929	0,177	-0,383
6,20	0,929	0,175	-0,393
6,30	0,930	0,172	-0,403
6,40	0,931	0,170	-0,412
6,50	0,932	0,168	-0,421
6,60	0,933	0,165	-0,430
6,70	0,933	0,163	-0,439
6,80	0,934	0,161	-0,447
6,90	0,935	0,159	-0,455
7,00	0,935	0,157	-0,463
7,10	0,936	0,155	-0,471
7,20	0,937	0,153	-0,479
7,30	0,937	0,151	-0,486
7,40	0,938	0,150	-0,493
7,50	0,939	0,148	-0,500
7,60	0,939	0,146	-0,507
7,70	0,940	0,145	-0,514

Приложение 2

Табл. 1(продолжение)

b	Kb	gb	Pb
7,80	0,941	0,143	-0,521
7,90	0,941	0,141	-0,527
8,00	0,942	0,140	-0,534
8,10	0,942	0,138	-0,540
8,20	0,943	0,137	-0,546
8,30	0,943	0,135	-0,552
8,40	0,944	0,134	-0,558
8,50	0,944	0,132	-0,564
8,60	0,945	0,131	-0,569
8,70	0,945	0,130	-0,575
8,80	0,946	0,128	-0,580
8,90	0,946	0,127	-0,585
9,00	0,947	0,126	-0,591
9,10	0,947	0,125	-0,596
9,20	0,948	0,123	-0,601
9,30	0,948	0,122	-0,606
9,40	0,949	0,121	-0,610
9,50	0,949	0,120	-0,615
9,60	0,950	0,119	-0,620
9,70	0,950	0,118	-0,624
9,80	0,951	0,117	-0,629
9,90	0,951	0,115	-0,633
10,00	0,951	0,114	-0,638

Приложение 3

Таблица 1

Критические значения критерия К. Пирсона

Число степеней свободы k	Значение при (1-а) при а
0,1	0,3	0,5	0,7	0,9	0,95	0,99
	0,016	0,148	0,455	1,07	2,71	3,84	6,63
	0,211	0,713	1,39	2,41	4,61	5,99	9,21
	0,594	1,42	2,37	3,67	6,25	7,81	11,3
	1,06	2,19	3,36	4,88	7,78	9,49	13,3
	1,61	3,00	4,35	6,06	9,24	11,1	15,1
	2,20	3,83	5,35	7,23	10,6	12,6	16,8
	2,83	4,67	5,35	8,38	12,0	14,1	18,5
	3,49	5,53	7,34	9,52	13,4	15,5	20,1
	4,17	6,39	8,34	10,7	14,7	16,9	21,7
	4,87	7,27	9,34	11,8	16,0	18,3	23,2
	5,58	8,15	10,3	12,9	17,3	19,7	24,7
	6,30	9,03	11,3	14,0	18,5	21,0	26,2
	7,04	9,43	12,3	15,1	19,8	22,4	27,7
	7,79	10,08	13,3	16,2	21,1	23,7	29,1
	8,55	11,7	14,3	17,3	22,3	25,0	30,6
	9,31	12,6	15,3	18,4	23,5	26,3	32,0
	10,10	13,5	16,3	19,5	24,8	27,6	33,4
	10,9	14,4	17,3	20,6	26,0	28,9	34,8
	11,7	15,4	18,3	21,7	27,2	30,1	36,2
	12,4	16,3	19,3	22,8	28,4	31,4	37,6
	13,2	17,2	20,3	23,9	29,6	32,7	38,9
	14,0	18,1	21,3	24,9	30,8	33,9	40,3
	14,8	19,0	22,3	26,0	32,0	35,2	41,7
	15,7	19,9	23,3	27,1	33,2	36,4	43,0
	16,5	20,9	24,3	28,2	34,4	37,7	44,3
	17,3	21,8	25,3	29,2	35,6	38,9	45,6
	18,1	22,7	23,3	30,3	36,7	40,1	47,0
	18,9	23,6	27,3	31,4	37,9	41,3	48,3
	19,8	24,6	28,3	32,5	39,1	42,6	49,6
	20,6	25,5	29,3	33,5	40,3	43,8	50,9

Приложение 3

Таблица 2

Критические значения вероятностей Р_кр критерия Пирсона

	Число степеней свободы k ЕС-Н
	0,606	0,801	0,909	0,962	0,935	0,994	0,998	0,999	0,999
	0,367	0,572	0,735	0,849	0,919	0,959	0,981	0,996	0,999
	0,223	0,391	0,557	0,700	0,808	0,385	0,934	0,931	0,995
	0,135	0,261	0,406	0,549	0,676	0,779	0,857	0,947	0,983
	0,082	0,171	0,287	0,415	0,543	0,660	0,757	0,891	0,958
	0,049	0,111	0,199	0,306	0,423	0,539	0,647	0,815	0,916
	0,030	0,071	0,135	0,220	0,320	0,428	0,536	0,725	0,857
	0,018	0,046	0,091	0,156	0,238	0,332	0,433	0,629	0,758
	0,011	0,029	0,061	0,109	0,173	0,252	0,342	0,532	0,702
	0,006	0,018	0,040	0,075	0,124	0,188	0,265	0,440	0,616
	0,004	0,011	0,026	0,051	0,088	0,138	0,201	0,357	0,528
	0,002	0,007	0,017	0,034	0,062	0,100	0,151	0,285	0,445
	0,001	0,004	0,011	0,023	0,043	0,072	0,111	0,223	0,369
	-	0,002	0,007	0,014	0,029	0,051	0,081	0,173	0,300
	-	0,001	0,004	0,010	0,020	0,036	0,059	0,132	0,241
	-	0,001	0,003	0,006	0,013	0,015	0,042	0,099	0,191
	-	-	0,001	0,004	0,009	0,017	0,030	0,074	0,149
	-	-	0,001	0,002	0,006	0,012	0,021	0,055	0,115
	-	-	-	0,001	0,004	0,008	0,014	0,040	0,088
	-	-	-	0,001	0,002	0,005	0,010	0,029	0,067
	-	-	-	-	0,001	0,003	0,007	0,021	0,050
	-	-	-	-	0,001	0,002	0,004	0,015	0,037
	-	-	-	-	-	0,001	0,002	0,004	0,015
	-	-	-	-	-	0,001	0,002	0,007	0,020
	-	-	-	-	-	-	0,001	0,005	0,015
	-	-	-	-	-	-	0,001	0,003	0,010

Приложение 3

Таблица 3

λ	Р(λ)	λ	Р(λ)
0,1	0,1	1,1	0,178
0,2	0,1	1,2	0,112
0,3	0,1	1,3	0,068
0,4	0,997	1,4	0,040
0,5	0,967	1,5	0,022
0,6	0,864	1,6	0,012
0,7	0,711	1,7	0,006
0,8	0,544	1,8	0,003
0,9	0,393	1,9	0,002
1,0	0,270	2,0	0,001