Проверка с помощью критерия Пирсона

Основным преимуществом этого критерия является то, что он может быть использован для проверки допущения о любом распределении, даже в случае, если не известны значения параметров распределения. Главный недостаток критерия - его нечувствительность к обнаружению адекватной модели, когда число наблюдений невелико. На практике при применении критерия Пирсона необходимо, чтобы число наблюдений, попавших в интервал, было не менее пяти. Если на какой то интервал попадает менее пяти значений, его объединяют с соседним.

Примене­ние критерия Пирсона является эффективно при числе результатов наблюдений n > 30. Поскольку в каждом интервале должно быть не менее восьми значений случайной величины.

В случае, когда значения параметров распределения определены, (задачи 2,5) эмпирические частоты попадания исходных данных в интервал сопоставляются с частотами, вычисленными по теоретическому уравнению плотности распределения вероятностей m'_j, вычисляемые по формуле:

m_j^' = n·f_j·Δx (4.1)

где n – объём выборки; f_j – плотность распределения вероятностей, вычисленная по теоретическому уравнению плотности распределения принятого закона для середины каждого интервала.

Функция плотности распределения вероятностей на каждом интервале определяется [6,7] по теоретическому уравнению.

Критерий Пирсона записывается в виде следующего уравнения:

(4,2)

где вычисляется по формуле

, (4.3)

k – число степеней свободы.

Полученное значение сравнивают с критическим значением этого критерия. Значение выбирают по таблице 1 приложения 3 в зависи­мости от уровня значимости а и числа степеней свободы k = r – 1, где r – число интервалов.

Число степеней свободы определяется:

– для однопараметрического распределения по формуле:

k = r – 1, (4.4)

– для многопараметрического распределения по формуле:

k = r – s, (4.5)

где s – число наложенных связей, определяемое по формуле:

s = п + 1 (4.6)

где п – число параметров закона распределения.

Гипотезу о предполагаемом законе распределения считают спра­ведливой при условии < . Если ≥ , гипотезу отвергают.

По таблице 2 приложения 3 с помощью линейной интерполяции определяется значение критической вероятности Р_кр. (χ²;k), затем при помощи условия (4.2) делают вывод о принадлежности опытных данных к рассматриваемому закону

Задача 8

С помощью критерия Пирсона определить соответствие данных из примера 2 нормальному закону. В соответствие с задачей 5 принять количество интервалов k =7. Значения параметров задачи 5 сведены в таблицу.

Таблица

Номер интервала	Границы интервалов	Середина интервала,	Число попаданий,
	70 - 107,1	88,6
	107,1 - 144,3	125,7
	144,3 - 181,4	162,8
	181,4 - 218,5	200,0
	218,5 - 255,6	237,1
	255,6 - 292,8	274,2
	292,8 - 329,9	311,3

Гистограмма распределения случайной величины пробега автомобиля при исправных кулаках тормозной системы при k =7.

Так как площадь гистограммы нормального закона распределения случайной величины равна единице (см.задачу 5), то примем (с некоторым приближением) опытную частоту попадания в седьмом интервал нулю и определим значения функции плотности распределения вероятностей на семи интервалах по теоретическому уравнению:

, (4,7)

где S и Δx - параметры распределения; X_j– переменная, в качестве которой принимаем середины интервалов.

Расчеты удобно проводить с помощью таблицы 10.

Расчет значения χ²

Таблица 10

Номер интервала	Середина интервала	Теоретическое значение функции плотности распределения вероятности f(xj)	Теоретическая частота mj′	Опытная частота mj
	88,6	0,00380	6,3		4,4
	125,7	0,00260	4,3		1,2
	162,8	0,00190	3,2		0,01
	200,0	0,00130	2,2		0,3
	237,1	0,00079	1,32		12,5
	274,2	0,00044	0,73
	311,3	0,00023	0,4
	χ2 = 18,4

0,00380

По аналогии определяем: f(x₂), f(x₃), f(x₄), f(x₅), f(x₆).

Теоретическая частота попаданий m_j^′ случайной величины в интервал

m_j^' = n·f_j·Δx

m₁^' = 45·0, 00380·37, 1 = 6, 3

По аналогии определить m₂^' m₃^' m₄^' m₅^' m₆^'

У нормального закона распределения два параметра (п = 2-исправное, неисправное), значит число наложенных связей s = п +1 = 3. Так как число интервалов сократилось за счет объединения интервалов, то для многопараметрического распределения по формуле (4.5) число степеней свободы:

k = r – s =5 –3 = 2

На основании анализ опытно-расчётных параметров следует: гипотеза о принадлежности опытных данных к нормальному закону распределения находит подтверждение только на 4-х интервалах, для которых χ² = 5,91

По полученным значениям k = 2 и χ² =5,91 методом линейной интерполяции [6] по таблице 2 приложения 3 найти значение.

В соответствие с критерием Пирсона: Р_кр= 0,052 > а = 0,05, где а вероятность неисправного состояния рулевого управления. По таблице 1 приложения 3: , следовательно, гипотеза о принадлежности опытных данных нормальному закону не отвергается.