Определение оценок параметров закона распределения Вейбулла

Распределения Вейбулла занимает промежуточное положение между нормальным и экспоненциальным распределениями. В частном случае при b =1, с = 0 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное; при этом параметр а =T_ср представляет собой среднее значение (математическое ожида­ние) случайной величины Т.

Анализ формул позволяет утверждать:

– при b > 1 интенсивность со­бытий монотонно возрастает;

– при b = 1 интенсивность собы­тий не изменяется во времени;

– при b < 1 интенсивность собы­тий монотонно убывает.

Скорость изменения интенсивности событий определяется значением b. Эта особенность распреде­ления позволяет использовать его для описания безотказности объектов в течение трех периодов их эксплуатации: приработ­ки, нормальной эксплуатации и старения.

Распре­деление Вейбулла имеет ресурс для подшипников качения (b = 1,4÷1,5), зубчатых колес редукторов (b = 1,4 ÷ 1,8), зуб­чатых муфт (b =1,5), тормозных обкладок (b =1,4), тормоз­ных шкивов (b = 1,5), ходовых колес кранов (b = 2) и т. д.

Распределение Вейбулла имеет две разновидности: двухпараметрическое и трехпараметрическое. Двухпараметрическое распределение получается из трехпараметрического при параметре сдвига с = 0

Для распределе­ния Вейбулла [12] справедливо уравнение, задаваемое интегральной функции

где а — параметр масштаба, характеризующий степень растя­нутости кривой распределения вдоль оси x и связанный со средним значением случайной величины; b — параметр формы; с — параметр сдвига, являющийся ми­нимальным возможным значением случайной величины x.

Дифференциальная функция [12] плотности рас­пределения Вейбулла

Интенсивность событий

.

Математическое ожидание

.

Вычисление этого интеграла приводит к выражению

,

где гамма-функция.

Гамма-функцией от аргумента n называется функция

.

Оценку параметров масштаба а, формы b и сдвига с автотракторной техники удобно определять методом моментов [6,7,8] по выборке независимых наблюдений случайной величины X.

Определение производится по значению коэффициента асимметрии с помощью специальных таблиц, в следующем порядке:

– вычисляют оценку коэффициента асимметрии по формуле:

(3.8)

для группированных данных оценку коэффициента асимметрии с_в вычисляют по формуле:

(3.9)

– по полученному значению р_в из таблицы 1 приложения 2 при помощи линейной интерполяции находят оценку параметра b и значения коэффициентов g_b и K_b;

– определяют оценку для параметра (а) по формуле:

(3.10)

– находят значение c по формуле:

(3.11)

в качестве оценки параметра с берут одно из двух значений, взятых по абсолютной величине :

(3.12)

Задача 7

Определить оценки параметров исправного состояния тормозной системы из закона Вейбулла для данных из задачи 2.

Пример решения

Вычислить значение коэффициента асимметрии по формуле (3.9):

По таблице 1 приложения 2 с помощью линейной интерполяции найти значения оценок параметра b и значения коэффициентов g_b и K_b.

Интерполяцию произвести по схеме Эйткина, по зависимости значений параметра формы от коэффициента асимметрии в двух точках

взятых так, что .

Найти с помощью схемы Эйткина значение b для ρ_b = 0,68 по формуле:

3.13

Аналогичным образом найти значения коэффициентов g_b и K_b:

Определить значение параметра масштаба а:

Найти значение c :

Так как 54,6 < 70, принимаем с = 54,6.